Сливкер В.И. - Строительная механика. Вариационные основы

В. И. Сливкер

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ВАРИАЦИОННЫЕ ОСНОВЫ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению 653500 «Строительство»

Москва 2005

Издательство Ассоциации строительных вузов

Рецензенты:

заведующий кафедрой «Прикладная математика» ПГУПС, доктор физико-математических наук, профессор Е. Ф. Жигалко; заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор физико-математических наук, профессор Л.А. Розин. Сливкер В.И.

Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие.

- М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.

ISBN 5-93093-364-2

Книга посвящена систематическому изложению вариационных принципов строительной механики и вариационных методов решения соответствующих задач. Вариационный подход последовательно применяется не только для построения вычислительных процедур, но и как универсальный и математически наиболее убедительный способ получения основных разрешающих уравнений в прикладной механике твердого деформируемого тела.

Предназначена для инженерно-технических и научных работников, для разработчиков программных комплексов по решению задач прочности, устойчивости и колебаний механических систем, а также для практикующих инженеров, использующих в своей работе программный инструментарий и интересующихся теоретическими основами прочностных расчетов. Может быть использована студентами старших курсов, аспирантами, а также преподавателями кафедр прочностных дисциплин технических университетов на строительных, машиностроительных и иных факультетах инженерных специальностей.

ISBN 5-93093-364-2

© Издательство АСВ, 2005

© Сливкер В.И, 2005

ПРЕДИСЛОВИЕ

Все должно быть изложено так просто, как только

возможно, но не проще

Альберт Эйнштейн

Введение

Сила вариационного подхода в механике твердого деформируемого тела определяется его многогранностью: вариационный подход используется и как универсальное средство описания физических закономерностей, и как основа качественных методов исследования задач [1]. Однако вариационный подход обладает и еще одним серьезным достоинством - он служит предельно ясным, очищенным от посторонних примесей источником построения и обоснования численных методов решения задач механики. Это стало в особенности важным и осознанным после того как современные численные методы решения задач строительной механики, и прежде всего метод конечных элементов, вошли в арсенал рабочего инструмента инженера. Конечно, прошло какое-то время после пионерских работ Тернера, Клафа и Мелоша, спустя которое метод конечных элементов был математически осознан как численный метод решения задач математической физики, но выдающуюся роль вариационного подхода в процессе такого осознания теперь уже никто не рискует оспаривать. Именно это слияние интуитивных инженерных построений и математически глубоко разработанного аппарата вариационного исчисления придало методу конечных элементов импульс такого масштаба, влияние которого ощутимо и в наши дни.

Нельзя сказать, что литература по обсуждаемому в книге кругу вопросов бедна и немногочисленна. Напротив, достаточно указать на имена таких известных механиков и математиков как Лейбензон [2], Михлин [3], Васидзу [4], Ректорис [5], Розин [6]... - многоточие, как обычно, служит символом продолжения ряда. Вот почему нужно обладать немалым запасом самонадеянности, чтобы после работ перечисленных авторов и других признанных авторитетов, основательно пробороздивших воды океана вариационных принципов механики, браться за рискованное предприятие по написанию еще одной книги на эту же тему. Здесь на ум приходят слова известного английского физика Г. Бонди [7]:«Книга - это прекрасная вещь, но, вообще-то говоря, книг ужасно много; в результате читателям нелегко, а авторам, пожалуй, и того хуже».

Но каждая из написанных книг достойна своей читательской аудитории. Одни книги (Михлин, Ректорис) осознанно сориентированы на математический аспект решения вариационных задач, акценты других (Лейбензон, Васидзу, Розин) откровенно расставлены в пользу чисто механических проблем.

Понятно, что при написании книги, подобной этой, одним из трудных моментов, с которым автору приходится постоянно сталкиваться, это ориентация на потенциального читателя, для которого и предназначена эта книга. Прав К. Ректорис [5], считающий, что осуществить замысел, связанный с предназначением книги как для математика, так и для инженера совсем непросто, поскольку «...упомянутые категории читателей часто - имеют совершенно противоположные взгляды на такую книгу и, следовательно, различные требования к ней, которым нельзя удовлетворить одновременно Например, нельзя пойти навстречу желанию математиков получить книгу, написанную в сжатом стиле, в которой теория развертывается достаточно быстро».

В связи с этим приходится делать выбор, и такой выбор в этой книге однозначен: она нацелена на лица, имеющие (или стремящиеся завершить) инженерное образование, но обладающие определенным уровнем математической культуры, не выходящим, как правило, за рамки требований современного математического образования, получаемого в университетах технического профиля.

Перечень знаний, требуемых от читателя, сводится кратко к следующему. Предполагается, что читатель знаком со стандартным циклом прочностных дисциплин, входящих в программу любого технического ВУЗа - сопротивление материалов, строительная механика, основы теории упругости, и что он имеет представление о базовых категориях вариационного исчисления. Такие понятия как функционал, уравнения Эйлера для него, главные и естественные краевые условия, правило множителей Лагранжа при поиске точки стационарности функционала с дополнительными условиями и некоторые другие мыслятся уже размещенными в сознании и памяти читателя. Предполагается также, что читатель владеет основами линейной алгебры, а из анализа повсеместно используется без дополнительных пояснений формула Гаусса-Остроградского в различных вариантах ее написания. Автор полагает, что у читателя не вызовет затруднений и такой прием, как встречающееся в тексте дифференцирование функции по векторному аргументу.

Стремление сузить перечень требований к математической подготовленности читателя заставило автора отказаться от использования элементов тензорного анализа даже в тех ситуациях, когда аппарат тензоров оказывается уместным. Все, что нужно знать читателю в этом смысле сводится к тривиальному соглашению о суммировании по повторяющимся индексам.

Имея в виду потребности инженеров, автор старался избегать соблазна там, где это считал возможным, обсуждения математически более тонких вещей, таких, например, как важнейшее понятие полноты пространств, хотя самые простейшие сведения из фундаментальных понятий о гильбертовых пространствах считаются читателю известными. Возможно, что пуристы от математики сочтут подобный стиль изложения недопустимым, но ... сошлемся на мнение Бертрана Рассела: «Книга должна быть или строгой, или простой. Совместить эти два требования невозможно».

Кратко говоря, эта книга адресована не математикам, а инженерам, но таким, которые имеют вкус к математическим постановкам и основанным на них методам решения инженерных задач, хотя бы и не в математически рафинированной оболочке.

Если же говорить о потенциальном читателе, то кроме упомянутых выше инженеров и научных работников (не только кроме, но может быть в первую очередь) автор видит его среди студентов старших курсов инженерных специальностей, дальнейшую карьеру которых предполагается строить в тесной связи с решениями расчетных инженерных задач. К этому же множеству относятся и аспиранты кафедр прочностных дисциплин.

Надеюсь, что и преподаватели этих кафедр найдут для себя в этой книге педагогически полезный материал, который может быть использован ими как в лекционных курсах, так и на специальных семинарских занятиях. Не будем здесь обсуждать содержание книги по главам, поскольку уже беглый взгляд на оглавление дает достаточно ясное представление о предмете. Отметим лишь, что кроме общих положений при описании вариационных проблем в книге уделено достаточно внимания вариационным постановкам конкретных классов задач механики, и в этом смысле книга может также служить не только руководством по углубленному изучению вариационных принципов и вариационных методов в механике твердого деформируемого тела, но и справочником в практической инженерной деятельности.

При изложении вариационных принципов строительной механики мыслимы различные подходы. В одном из таких подходов отдельные варианты вариационных принципов могут быть получены математически формальным способом один из другого с помощью разного рода преобразований, таких как преобразование Лежандра, преобразование Фридрихса, преобразование Лагранжа. Этот подход систематически использован, например, в [8]. Но эти же вариационные принципы могут быть получены и самостоятельно, с последующим установлением связей между соответствующими функционалами, в том числе и с привлечением указанных преобразований. По соображениям методического характера, инициированным нацеленностью книги на инженерно ориентированного читателя, здесь избран второй способ.

Конечно, в одной книге нет необходимости (да это и невозможно сделать хотя бы из-за разумного ограничения объема) рассматривать все мыслимые варианты вариационных постановок задач. Продолжающийся в журнальной литературе поток публикаций убедительно свидетельствует о неисчерпанности темы. Здесь же приводятся лишь некоторые, наиболее важные и наиболее распространенные варианты, при отборе которых автор руководствовался прежде всего критерием их полезного применения как при обосновании общих теоретических положений строительной механики, так и при построении численных алгоритмов решения прикладных задач.

Сразу же оговорим, что проблемы строительной механики в этой книге рассматриваются исключительно в линейной постановке. Соображения, на основании которых принято такое ограничение, сводятся к следующему:

• Во-первых, вариационные постановки и вариационные методы решения линейных задач самодостаточны. Методологически целесообразно, по мнению автора, рассмотреть важнейшие особенности вариационных методов в постановках именно линейных задач, без усложнения их нелинейными эффектами.

• Во-вторых, следует принять во внимание, что методы решения нелинейных задач как правило сводятся к решению последовательности линейных задач.

• В-третьих, и это главное, нелинейные задачи столь же важны, сколь и специфичны. Именно поэтому они заслуживают самостоятельного подробного рассмотрения в отдельной публикации.

Сказанное предлагается рассматривать как обязательство автора перед читательской аудиторией в обозримое время подготовить к изданию книгу, специально посвященную постановкам и методам решения нелинейных задач строительной механики.

И в заключение одно терминологическое оправдание. В книге повсеместно используется некоторое количество аббревиатур, например: НДС - напряженно деформированное состояние системы, ПНС - плоское напряженное состояние, МКЭ - метод конечных элементов. Автор осведомлен о негативном отношении к подобного рода сокращениям со стороны ряда специалистов в области механики твердого деформируемого тела - МТТ. Но разве употребление последнего сокращения в названии авторитетного академического издания не является свидетельством общественного признания механиками допустимости аббревиатур в публикациях? Что же касается чувства меры, то об этом судить читателю.

О литературных ссылках

То, что список литературных источников ни в коей мере не может претендовать на полноту, стало настолько традиционным авторским реверансом, что я даже и не буду извиняться. Единственное, о чем следовало бы упомянуть здесь, это цели приведения литературных источников. Таких целей может быть несколько. Но возможные ожидания читателя отыскать в этой книге авторские обоснования исторических приоритетов не будут вполне оправданы. Такая позиция не связана с недооценкой роли исторической составляющей в развитии науки.

Напротив, именно уважительное к ней отношение не позволяет автору считать себя хоть в какой-либо мере историком той науки, которой он занимается2. Вообще, задача установления приоритетов и сложна, и до крайности деликатна, а ее исторически справедливое решение во многих случаях неоднозначно, недаром историки науки от различных научных школ зачастую придерживаются прямо противоположных взглядов3. Оставляя в стороне проблему приоритетов и опирающуюся на нее историческую справедливость именований отдельных научных результатов, заметим, что литературные ссылки приведены здесь главным образом для того, чтобы читатель имел возможность разыскать дополнительную информацию по тому или иному обсуждаемому вопросу. Еще одна цель приведения литературных ссылок это указание источников, на которые опирался автор книги при изложении отдельных вопросов.

Как читать эту книгу

Строго говоря, приводимым ниже рекомендациям совсем не обязательно следовать. Многое зависит как от уровня подготовленности читателя, так и от тех целей, которые читатель ставит перед собой, собираясь потратить время на изучение предложенного материала. Тем не менее, по авторскому замыслу сначала последовательно прочитываются первые три главы книги.

В главах 4-8 на базе общих вариационных принципов приводятся постановки отдельных классов задач. Если читатель чувствует себя достаточно осведомленным в постановках этих классов задач, или они его по какой либо причине на момент изучения книги не интересуют, то почти без ущерба для дальнейшего понимания текста эти главы полностью или частично могут быть пропущены.

Глава 9 содержит предназначенное для механика введение в метод Ритца. Подготовленный читатель может пропустить эту главу или бегло ее просмотреть. Хотя и здесь в разделе 9.3 содержится некоторый новый материал, до настоящего времени в монографической литературе не представленный.

Главы 10 и 11 предназначены для специалистов, научные или технические интересы которых связаны с задачами о частотном спектре и с задачами устойчивости конструкций.

В приложениях приводятся некоторые общие математические сведения, которые, хотя напрямую и не всегда относятся к содержанию основного текста книги, во многом могут оказать помощь читателю, не желающему одновременно с этой книгой обращаться за ссылками к другим работам. Так, например, в приложении F дается краткое, но замкнутое, описание теории криволинейных координат. Мы рекомендуем ознакомиться с этим приложением даже и подготовленному читателю, чтобы освоиться с принятой там системой обозначений, используемой во многих местах основного текста книги.

В составе приложений имеются и разделы, материал которых не носит характера общематематических сведений. В этих приложениях обсуждаются некоторые специфические детали или конкретизация отдельных положений теории, сознательно вынесенные за пределы основного текста книги. Перед изучением теорий изгиба пластин в главе 5 полезно хотя бы бегло просмотреть раздел 4.7, относящийся к плоским криволинейным стержням. Во всяком случае это поможет разобраться с важным разделом по статико-геометрической аналогии в теории пластин, особенно в связи с формулировкой так называемых деформационных граничных условий.

Книга не так уж густо насыщена примерами, и мы настоятельно рекомендуем читателю не проходить мимо них. Вообще, примеры, приводимые в книге, не имеют целью "натаскивания" студента на отшлифовку способов решений типовых задач. Эти примеры скорее играют роль того поясняющего материала, который позволяет иногда посмотреть на проблему как бы под иным углом зрения. Эта особая функция примеров в познавательном процессе в математических и инженерных науках хорошо известна и традиционно используется в научных публикациях. Ее важную роль неоднократно подчеркивал в своих трудах такой знаток механико-математической педагогики как А.Н. Крылов. Недаром в своей известной книге [9, стр. 68] Крылов ссылается на слова Ньютона о том, что «при изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила».

В подавляющем большинстве случаев все утверждения теоретического характера даются в книге с достаточно подробным обоснованием. Встречающиеся нарушения сознательны, они сопровождаются призывами к проведению доказательств самостоятельно. Сделано это не ради экономии места, а из соображений педагогического характера. Упражнения подобного рода не только наилучшим образом способствуют более глубокому освоению материала, но и стимулируют рост самостоятельной творческой потенции.

Благодарности

Книга, которую читатель держит в своих руках, не была бы написана и опубликована:

• Если бы автор не испытывал постоянного поддерживающего (и даже подталкивающего) влияния своих друзей и коллег. Не приводя длинного именного списка, замечу лишь, что во главе его стоит имя моего давнишнего друга и соавтора по многим публикациям Анатолия Викторовича Перельмутера.

• Если бы компания ЗАО "Гипростроймост Санкт-Петербург" в лице ее генерального директора Липкина Юрия Павловича, не разделяла вместе с автором ощущения практической пользы от подобной работы и не оказала чувствительной моральной поддержки этому предприятию.

• И наконец (но не в последнюю очередь!), если бы в свое время счастливая судьба не свела автора с Леонидом Александровичем Розиным, ставшим и учителем и другом. Влияние работ и личностное влияние Л.А. на научные интересы автора (заметное всякому, кто знает работы Л.А. Розина и кто ознакомился с этой книгой), да и на сам стиль мышления в области механики, оказались решающими.

При работе над текстом книги большую помощь автору оказали Д.В. Деревянкин и Д.А. Маслов. Первый, будучи в студенческом возрасте, выполнил по просьбе автора некоторые числовые вычисления, включенные в текст книги. Он же подготовил все рисунки, мастерски овладев современными средствами компьютерной графики. Второй разработал специальную программу GeomyX, определяющую полный комплект геометрических характеристик тонкостенных сечений стержней4.

И.Д. Евзеров взял на себя труд прочесть книгу в рукописи. Конструктивность его замечаний в ряде случаев заставила автора отойти от оригинала в сторону улучшенной версии текста. Отдельные главы книги прочел и сделал полезные замечания B.C. Карпиловский.

Автор не упустил счастливой для себя возможности неоднократного обсуждения многих тонкостей теории тонкостенных стержней (каламбур получился сам собой) с таким признанным знатоком этого раздела строительной механики как Е.А. Бейлин. Проявленная Ефимом Абрамовичем в этих беседах доброжелательная заинтересованность работой автора оказалась серьезным подспорьем при подготовке соответствующих разделов книги.

И, наконец, компания SCAD Group, с которой автор связан прочными узами творческого сотрудничества, постоянно инициировала (и продолжает это делать) размышления автора в части разработки вычислительных алгоритмов в области строительной механики. Результаты этих размышлений частично вошли в текст книги.

Выражение искренней признательности всем указанным лицам и организациям - не только моя приятная обязанность, но и привилегия. Некоторые общие правила для обозначений, принятые в книге

Принята следующая система нумерации формул и ссылок на них. В пределах одного параграфа формулы нумеруются двумя числами, разделенными точками. Первое число - номер параграфа в данной главе, второе - номер формулы в данном параграфе. При ссылках на формулу из иной главы дополнительно указывается номер этой главы, причем для лучшего восприятия глазом номер главы выделяется полужирным шрифтом.

Так например, (2.3) означает ссьшку на формулу (2.3) из параграфа 2 данной главы, а (1.2.3) - на формулу (2.3) из параграфа 2 главы 1. По глубокому убеждению автора, подтвержденному его личным студенческим и преподавательским опытом, продуманная система обозначений является одним из важных педагогических компонентов изложения любой физической теории, использующей математический аппарат, помогающая как восприятию теоретических положений, так и запоминанию тех результатов, которые приводятся в формульном виде. И наоборот, запутанная, неорганизованная система обозначений, отталкивает обучающегося. Разумная система обозначений содействует концентрации внимания студента на идейной стороне изучаемого предмета, не отвлекая его всякий раз на восстановление в памяти смыслового содержания тех символов, которые используются в очередной формуле. В этой связи при написании настоящей книги автор прикладывал настойчивые усилия к введению таких обозначений, которые были бы мнемонически запоминающимися и систематизированными, а не хаотичными, и по возможности не отступали бы от общепринятых обозначений. Насколько реализация этих намерений автора оказалась удачной судить читателям.