Темам Р. - Математические задачи теории пластичности

   УДК: 517.972/974

   Описание

   Исследуется математическая постановка для задач равновесия пластичного тела. Эти модели приводят к интересным математическим задачам нелинейной механики и вариационного исчисления. Для математиков, механиков, инженеров, а также для студентов старших курсов соответствующих специальностей.

   ISBN: 5-02-014263-8

   Количество страниц: 288

   ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

   Предлагаемая вниманию читателя книга входит в серию «Математические методы в информатике», выпускаемую под руководством Ж.-Л. Лиопса; некоторые книги этой авторитетной серии уже переведены на русский язык. Работы автора книги, французского математика Роже Темама, также хорошо известны специалистам по уравнениям с частными производными, механике, теории  экстремальных задач, выпуклому анализу (в частности, по монографии: И. Эклапд, Р. Темам. Выпуклый анализ н вариационные проблемы.— М.: Мир, 1979). Новая книга Р. Темама «Математические вопросы теории пластичности» посвящена главным образом изучению задачи о напряжениях и более трудной задачи о перемещениях как вариационных задач, связанных с трехмерной упругой идеально пластической моделью пластичности Генки; кроме того, указаны некоторые приложения полученных результатов к не идеально пластическим задачам и изучены асимптотические свойства этих задач, а также приведены аналогичные результаты для двумерных задач, связанные с теорией пластин. Центральным техническим приемом является введение, изучение и использование подходящего функционального пространства (содержащего, что очень важно, и разрывные функции), а именно пространства функций с конечной энергией деформации, которое оказывается достаточно богатым для того, чтобы содержать пределы (в соответствующих топологиях) минимизирующих последовательностей  для вариационной задачи о перемещениях. Воплощение этой аналитической идеи проведено с присущим автору искусством и ясностью.

   Как указывает автор в своем предисловии, развитые им методы выглядят перспективными и в ряде других задач теории, и в области численного анализа. Можно надеяться, что настоящая книга будет способствовать дальнейшему развитию математических методов в решении трудных задач механики.

   А. И. Штерн

ПРЕДИСЛОВИЕ

   Цель настоящей книги состоит в том, чтобы изучить с математической точки зрения задачу равновесия идеально пластического тела (при определенных условиях). Хотя настоящее исследование посвящено в точности той задаче, которая подробно описана ниже, может оказаться весьма вероятным, что использованные здесь средства и методы плодотворны и в других областях,— в частности, в эволюционных задачах теории пластичности, в задачах механики разрушения и в совершенно другом круге идей — в некоторых задачах оптимального управления.

   При некоторых предположениях, в частности, в предположении идеальной пластичности материала, поля и и о являются соответственно решениями двух хорошо известных вариационных задач, которые мы называем задачей о перемещениях и задачей о напряжениях; задача о перемещениях известна также под названием задачи Генки. Эти две задачи образуют пару задач вариационного исчисления, решение которых было достигнуто лишь недавно^); целью настоящей книги является изложение этих исследований.

   Изучение задачи о напряжениях оказывается чуть менее сложным: мы легко доказываем, что эта задача имеет единственное решение, за исключением случая, когда множество допустимых полей напряжений пусто (такое может случиться при определенных значениях сил / и g, условия этого мы уточним). Напротив, задача о перемещениях представляет существенные трудности, которые были преодолены лишь недавно.

   Автор, конечно, осознает границы применения изучаемой модели с точки зрения механики: модель Генки, которая часто возникает как модель нелинейной упругости с порогом (см. [51]), недостаточно удовлетворительно учитывает явления пластичности. Было бы предпочтительнее достичь изучения эволюционной модели Прандтля — Рейсса либо в форме квазистатического приближения, либо в общей форме. Однако мы думаем, что по крайней мере некоторые из наших исследований и развитых в этой книге технических приемов являются необходимым шагом в изучении модели Прапдтля— Рейсса. С другой стороны, как нам кажется, введение пространства BD(Q) и некоторые из последующих результатов образуют естественные рамки для задач механики твердых тел, в которых могут появляться разрывы; это могло бы оказаться полезным, таким образом, в теоретическом исследовании задач механики разрушения. С точки зрения численного анализа, как нам кажется, наш подход также может оказаться полезным: в исчислении разрушений использование выпуклого анализа позволяет получить более точные результаты, чем обычно (при условиях, которые являются одновременно необходимыми и достаточными), и формулировки главы II позволяют учесть поверхности разрыва; первые численные расчеты, основанные на этих идеях, проведены в [23, 25]. Наконец, как мы уже указывали выше, не- которые задачи оптимального управления могут оказаться доступными аналогичным методам исследования на уровне изучения необходимых условий оптимальности; эти вопросы подлежат дальнейшему изучению, но уже сейчас можно обратиться к [88, 141].

   В  заключение я хотел бы поблагодарить всех лиц, которые в различных формах внесли свой вклад в эту работу или стимулировали ее, Я благодарю Поля Жермена за интерес, проявленный пм к этой работе, в частности, по случаю публикации некоторых статей, составивших основу этой книги, а также выраженный в [51]. Я благодарю Жака-Лул Лиопса за его внимание и за включение этой книги в возглавляемую им серию. Кроме того, я хотел бы поблагодарить Жильбера Стренга за дружеское сотрудничество, которое было очень приятным и плодотворным, и за его внимание в ходе подготовки этого сочинения; я благодарю также Робера Кона, с которым мы сотрудничали в статье, сыгравшей очень полезную роль в конце главы П. Франсуаза Деменжаль и Пьер Сюке согласились прочесть некоторые части рукописи; я благодарю их за сделанные замечания. Наконец, я хочу поблагодарить мадам Ле Мер и мадам Майнар, которые любезно обеспечили печатание текста.

   ГЛАВА I

   ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

   ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

   Введение

   В этой главе мы напоминаем различные факты из функционального анализа, выпуклого анализа и механики, которые будут нам постоянно нужны в дальнейшем. Затем мы приводим формулировку вариационных задач идеальной пластичности, которым и посвящена настоящая книга. Наконец, в остальной части главы эти задачи изучаются с помощью систематического использования средств выпуклого анализа.

   В § 1 мы напоминаем некоторые основные понятия функционального анализа и функциональных пространств типа пространств Соболева; приводятся также некоторые дополнительные сведения. В § 2 напоминаются факты выпуклого анализа — свойства сопряженных выпуклых функций, вариационные задачи в двойственности. Даются примеры из вариационного исчисления и, в частности, изучаются двойственные вариационные задачи трехмерной линейной теории упругости, т. е. задачи, дающие поле деформаций и поле напряжений. В § 3 содержатся напоминания некоторых основных понятий механики сплошных сред; в частности, выписаны уравнения равновесия и сформулированы уравнения состояния.

   Начиная с § 4 и до конца главы и далее мы занимаемся изучением вариационных задач о перемещениях и о напряжениях для модели пластичности Генки (статическая задача). В § 4 проводится систематическое изучение двойственности между вариационной задачей о перемещениях и вариационной задачей о напряжениях.

   В § 5 изучается граничный анализ. Вводится вспомогательная вариационная задача, задача граничного анализа: именно она даст критерий, позволяющий решить, является ли нижняя грань в задаче о перемещениях конечной или бесконечной и, двойственным образом, допускает ли задача о напряжениях состояния с допустимыми напряжениями или не допускает. Хотя общая идея граничного анализа является старой и часто используется в механике при расчете разрушений, нам кажется, что описанная здесь задача граничного анализа (введенная Г. Стренгом и автором) является новой (по крайней мере, в данном здесь виде). Уточним, с другой стороны, что наше исследование, основанное на результатах выпуклого анализа, дает необходимые и достаточные условия, а не только "необходимые или достаточные условия, как это часто бывает в случае граничного анализа.

   Наконец, в § 6, который примыкает к настоящей главе с точки зрения общности методов (систематическое использование двойственности и выпуклого анализа), осуществляется первый шаг к осуществлению целей гл. П; вариационная задача, дающая поле перемещений — такая, как задача, сформулированная в § 4,— вообще говоря, но имеет решения, и именно обобщенная форма этой задачи решается в гл. И. В § 6 мы рассматриваем первое обобщение рассматриваемой задачи, соответствующее частичному ослаблению граничных условий; мы описываем в § 6 ослабленную задачу и изучаем ее связи с исходной задачей о перемещениях.