Светлицкий В.А. - Механика стержней. Часть 2. Динамика

Светлицкий В. А.

С 24 Механика стержней: Учеб, для втузов, В 2-х ч, Ч. II. Динамика.—М.: Высш. шк,, 1987.—304 с: ил.

Во второй части учебника изложены основные положения динамики стержней, дан вывод уравнений движения стержней в линейной и нелинейной постановке; приведены уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных стержней с изложением численных методов определения частот и форм колебаний. Большое внимание уделено неконсервативным задачам с изложением методов исследования динамической устойчивости малых колебаний. Рассмотрены параметрические и случайные колебания стержней. Приведены примеры численного решения прикладных задач с использованием ЭВМ.

ВВЕДЕНИЕ

Во Введении к первой части учебника указывалось, что стержневые элементы очень широко используются в самых различных областях техники, было приведено большое число примеров стержневых элементов конструкций, нагруженных статическими силами. В реальных условиях на стержни, в том числе и на рассмотренные в первой части, могут действовать и динамические нагрузки, которые приводят к возникновению колебаний. Возникающие колебания могут существенно влиять на надежность стержневых элементов и тем самым на надежность конструкции в целом.

Одно из следствий научно-технической революции заключается в резком повышении требований к точности расчетов, что, в свою очередь, требует более полного учета всех физических особенностей рассматриваемых задач. Как правило, прикладные задачи, связанные с исследованием колебаний стержней, требуют знания статического напряженно-деформированного состояния.

Это существенно ослож1няет решение уравнений движения, так как требует решения уравнений равновесия — определения вектора состояния в статике, компоненты которого входят в качестве коэффициентов в уравнения малых колебаний. В консервативных задачах статическое напряженно-деформированное состояние влияет в основном только на спектр частот, изменяя их числовые значения. В неконсервативных задачах, например в задачах взаимодействия стержней с потоком воздуха или жидкости, статическое напряженно-деформированное состояние влияет не только на спектр частот (на мнимые части комплексных собственных значений), но и на критические состояния стержня (на действительные значения комплексных собственных значений), что, конечно, необходимо учитывать при расчетах. Во второй части книги, так же как и в первой, основные теоретические положения и методы решения иллюстрируются конкретными примерами, способствующими более глубокому пониманию излагаемого материала.

Приведены примеры прикладных задач динамики из различных областей техники, когда конструкции или элементы конструкций или приборов могут рассматриваться как прямолинейные или криволинейные стержни.

Стержень (свая) (рис. BJ) внедряется в грунт под действием периодической осевой силы P{t). Если частота изменения силы и ее амплитуда взяты произвольно, то могут возникнуть поперечные колебания, которые для нормальной работы (процесса внедрения сваи в грунт) недопустимы. При расчете режимов работы требуется определить такие частоты и амплитуды сил, при которых поперечные колебания возникать не будут. Дело в том, что если рассмотреть уравнение поперечных колебаний сваи, то это будет уравнение с периодически изменяющимися коэффициентами. Такие колебания называются параметрическими, и при определенном сочетании параметров, входящих в уравнения, эти колебания могут быть неустойчивыми, т. е. при малом отклонении стержня от прямолинейной формы амплитуды колебаний непрерывно увеличиваются. Параметрические колебания прямолинейных стержней рассмотрены в § 7.7. г 1- к

Действие случайных и управляющих сил может вызвать изгибные колебания ракеты (рис. В.2), что, в свою очередь, приводит к появлению дополнительных возмущающих аэродинамических сил и отклонению ракеты от заданной траектории. На рис. В.З показан стержень, лежащий на упругом основании, по которому движется сила P{t) (или масса, на которую действует сила). Интерес представляет определение прогибов стержня и возникающих в нем напряжений. Подобные задачи возникают при исследовании скоростного движения железнодорожного транспорта. В настоящее время разрабатываются проекты движения поездов при скоростях до 500 км/ч, поэтому вопрос о динамических эффектах, возникающих при движении поезда является весьма актуальным. Мост (или понтон) с движущимся автомобилем (рис. В.4) в первом приближении можно также рассматривать как стержень, по которому движется сосредоточенная масса. Это примеры неустановившихся вынужденных колебаний.

На рис. В.5 показана передача с гибкой связью, обладающей изгибной жесткостью. Если момент сопротивления, действующий на ведомый шкив, изменяется во времени, то и осевые усилия в ветвях передачи также будут изменяться во времени. Поэтому уравнения поперечных колебаний ветвей передачи будут зависеть от времени, и если коэффициенты будут периодическими функциями времени, то могут возникнуть параметрические колебания.

В данном примере в отличие от примера (см. рис. В.1) возможные неустойчивые режимы колебаний будут зависеть и от скорости W продольного движения гибкой связи.

Во многих приборах в качестве упругих элементов используются камертоны (рис. В.6—В,9). Приборы могут находиться в сложных условиях (на ускоренно движущихся или вращающихся объектах), что приводит к нагружению упругих элементов инерционными нагрузками, которые необходимо учитывать при анализе работы прибора. За рубежом и у нас благодаря развитию полупроводниковых приборов все чаще применяются электронно-механические приборы времени (рис. В.6), использующие механические осцилляторы с распределенными параметрами (струны, стержни, пластины, камертоны). Известно, что осцилляторы с распределенными параметрами по своим характеристикам существенно превосходят осцилляторы с сосредоточенными параметрами.

На рис. В.7 приведена простейшая электронно-магнитная схема камертонного регулятора с распределенной массой на одной электронной лампе. Представленная схема относится к автоколебательным системам. При колебании ветви камертона вследствие изменения зазора Д изменятся магнитный поток и в обмотках электромагнита 2 возникает переменная э. д. с, которая, поступая на сетку электронной лампы (триода) 3, вызывает колебания анодного тока лампы, частота которого равна частоте изменения э. д. с. и, следовательно, частоте колебаний ветви камертона.

Анодный ток, протекая по обмоткам электромагнита 4, создает переменное магнитное поле, приводящее к переменной силе притяжения, которая раскачивает ветвь 5 камертона на резонансной частоте. Колебания ветви 5, в свою очередь, усиливают колебания ветви /, что приводит к возрастанию э. д. с. в цепи сетки лампы. При установившемся режиме в системе возникнут совместные механические и электрические колебания с частотой, близкой к частоте свободных колебаний ветви камертона. Если прибор с камертоном находится на ускоренно движущемся объекте, то действующая на ветви камертона инерционная нагрузка q (рис. В.7) изменяет зазоры, что приводит к отклонению режима работы системы от расчетного, поэтому требуется оценить возможные погрешности в показаниях прибора, возникающие из-за сил инерции (в том числе и случайных).

На рис. В.8 показан камертон с регулируемой частотой. Ветви камертона имеют полости, заполненные жидкостями (например, водой и ртутью) с разным удельным весом. Изменение положения границы жидкостей приводит к изменению частот ветвей камертона.

На рис. В.9 показана лампа, внутри которой находится камертон. Лампа (механотрон) представляет собой генератор колебаний низкой частоты (по сравнению с частотами электрических колебаний). Как известно, радиотехнические средства, использующие электрические колебательные контуры, не позволяют создать стабильно работающие низкочастотные регуляторы. Поэтому были разработаны генераторы с механическими колебательными контурами (с механическими упругими элементами), дающими возможность получать более низкие частоты.

При сверлении (рис. В, 10) часто возникают интенсивные колебания (точнее, автоколебания) сверла, анализ которых требует знания частотных характеристик сверла. Расчет осложняется тем, что сверло представляет собой естественно закрученный стержень.

На рис. В.11 показан камертон с криволинейными ветвями (ранее были показаны камертоны, ветви которых можно рассматривать как прямолинейные стержни). На рис. В. 12 показана спиральная пружина — упругий элемент многих приборов. При проектировании таких упругих элементов требуется знать их частотный спектр и зависимость частот от инерционных нагрузок. На рис. В. 13 показан акселерометр, в котором в качестве упругого элемента используется цилиндрическая пружина. Требуется определить частоты колебаний массы т с учетом инерции пружины.

В системах автоматического регулирования частоты вращения используются регуляторы (типа регулятора Уатта), представляющие собой два симметрично расположенных относительно оси вращения стержня (рис. В. 14), имеющих сосредоточенные массы т. При вращении на массы действуют центробежные силы инерции, которые изгибают стержни (равновесное состояние стержней при (й=0 на рис.В.14 показано сплошными линиями), перемещая по оси вращения втулку В. Перемещение втулки В приводит в действие систему управления. Угловая скорость о может иметь малые периодически изменяющиеся составляющие, которые приведут к появлению малых центробежных сил, и массы т, а стало быть, и втулка В начнут совершать малые колебания относительно отклоненного состояния. Если частоты периодических составляющих известны, то необходимо для выявления возможных резонансных режимов определить частоты колебаний масс и втулки относительно стационарного режима вращения.

Лопатки турбин (рис. В. 15), несмотря на сложную форму поперечного сечения, приближенно могут быть рассмотрены как стержни прямолинейные, нагруженные центробежными силами Qz, переменными по оси xi (зависящими от угловой скорости вращения w), которые оказывают существенное влияние на частотные характеристики лопатки. Кроме того, в лопатках линии, соединяющие центры тяжести сечений  и центры жесткости, не совпадают, что приводит к возникновению совместных изгибно-крутильных колебаний.

Задачи взаимодействия стержней с внешним или внутренним потоком воздуха или жидкости, как правило, неконсервативные, поэтому возможны неустойчивые режимы колебаний, которые надо определить и по возможности от них отстроиться. На рис. В. 16 показана конструкция (мачта), которая обтекается потоком воздуха. При определенных скоростях потока появляются (из-за срыва потока) вихри Кармана, которые создают возмущающие периодические силы, перпендикулярные направлению потока. При возникновении колебаний стержня частота срывов вихрей синхронизируется с частотой (например, первой частотой) колебаний конструкции, что может привести к недопустимо большим амплитудам. Аналогичные задачи возникают при расчете стержней, показанных на рис. В. 17, В. 18. На рис. В. 17 показана заправка самолета в воздухе. На рис. В.18 показан бур. При работе бура по трубопроводу подается глинистый раствор, который выносит на поверхность грунт. В зависимости от режима движения раствора и от геометрических параметров бура и скважины возможны неустойчивые изгибные колебания трубопровода.

На рис. В. 19, B.20 показаны трубопроводы, предназначенные для перекачки жидкости. На рис. В.21 показан трубопровод (змеевик), предназначенный для охлаждения теплоносителя. В реальных условиях параметры потока жидкости (скорость ш и давление р) имеют периодические составляющие, что приводит к появлению опасных параметрических колебаний. Поэтому необходимо рассчитать такие режимы работы, при которых неустойчивых параметрических колебаний возникать не будет.

На рис. В.22,а схематично показан летательный аппарат на стартовой площадке; на него действует поток со случайным модулем скорости V и случайным направлением (угол а на рис. В.22,б). Требуется определить максимально возможные отклонения оси летательного аппарата от заданного направления при наихудшем ветровом воздействии в фиксированный момент времени.

Приведенные примеры, конечно, полностью не охватывают все возможные элементы машин, приборов и строительных конструкций, которые сводятся к расчетной схеме стержня, но в этом нет и необходимости, так как все эти задачи математически родственны, т. е. могут быть исследованы одними и теми же методами.

Раздел первый

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Глава 1

КИНЕМАТИКА

При выводе уравнений движения необходимо иметь кинематические соотношения, устанавливающие связь между обобщенными перемещениями и их первыми производными по времени.