Некрасов А.И. - Курс теоретической механики. т.1 Статика и кинематика

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ.
Четвёртое издание «Курса теоретической механики» представляет воспроизведение третьего издания, но со значительными изменениями. Так, в четвёртом издании исправлены погрешности, имевшиеся в предыдущем издании; в это новое издание внесены многочисленные уточнения, разъяснения и дополнения; увеличено число примеров, которые набраны мелким шрифтом и для которых проведена общая нумерация; курсу предпослано написанное для нового издания введение. При подготовке нового издания отечественные работы по теоретической механике были использованы с особым вниманием.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.
Пятое издание перепечатано с четвёртого издания без изменений, за исключением исправления опечаток и уточнения некоторых формулировок.
ВВЕДЕНИЕ.
Механика есть наука о движениях и о силах. Оба понятия — как движение, так и сила — требуют пояснений, которые здесь и будут даны в той мере, в какой это необходимо в начале изучения механики.
Среди разных форм движения материи механика имеет дело с простейшей формой движения, которое состоит в изменении взаимного положения тел или частей тела друг относительно друга с течением времени; движение такой формы называется механическим движением.
Хотя понятие силы и представляется всем привычным, и слово «сила» часто употребляется нами в обычной разговорной речи, однако установление точного смысла этого понятия не является простым делом.
Наблюдение и опыт показывают, что тела механически воздействуют одно на другое, т. е. или изменяют движение тел, или производят деформации этих тел. Мы очень часто не знаем, в чём физически состоит существо этого механического воздействия тел друг на друга, но, не касаясь физической сущности этого механического воздействия, мы даём ему название силы. Понятие силы- оказывается очень полезным для механики, так как, научившись измерять силы, мы имеем в силе и причину внешнего воздействия и меру внешнего воздействия.
Из самого определения механического движения следует, что можно говорить о движении рассматриваемого тела лишь по отношению к другому телу. Изучая движение тех или других материальных объектов, мы относим их положение к какому-либо определённому телу, например к Земле или к предметам, неизменно связанным с ней. Тело, относительно которого рассматривается изучаемое движение, называют системой отсчёта. Обычно с таким телом для удобства определения положения движущегося материального объекта неизменно связывают ту или другую систему координат, которую также называют системой отсчёта.
Ньютон (1642—1727), впервые сформулировавший так называемые основные законы или аксиомы механики, предполагал существование абсолютно неподвижного пространства, т. е. абсолютно неподвижной системы отсчёта, и абсолютного времени, при помощи которых оказывается возможным определять абсолютное движение, в применении к которому Ньютон и установил свои «законы движения».
Современная наука не признаёт абсолютно неподвижного пространства. Говоря о движении, мы всякий раз должны указать ту систему отсчёта, к которой отнесено движение, без чего понятие движения и, в частности, покоя лишено содержания. Однако среди всех возможных систем отсчёта мы можем выделить такие, для которых, хотя бы приближённо, оказываются справедливыми основные законы Ньютона. Как устанавливаются такие так называемые «инерциальные» системы, будет указано во второй части настоящего «Курса теоретической механики». Там же будет показано, что при изучении очень многих механических явлений можно без ощутимой погрешности принимать за инерциальную систему любую систему осей координат, неизменно связанную с земной поверхностью.
Основные законы механики, установленные Ньютоном, безраздельно господствовали в науке целые полтора столетия, пока в середине прошлого века не выяснилось, что взаимодействие между магнитными полями и электрическими зарядами приводит к силам, не подчиняющимся законам Ньютона. Тогда была создана для изучения этого рода взаимодействий новая наука,, получившая название «электродинамики».
После этого до конца прошлого столетия уже не было сомнений в том, что механика Ньютона, или «классическая механика», применима к механическому движению любых материальных объектов, хотя знали, что величина перемещения перигелия орбиты планеты Меркурия, равная приблизительно трём четвертям минуты в столетие, не поддаётся объяснению. К началу этого столетия накопился ряд других фактов, которые не поддавались объяснению с помощью классической механики.
Эти несогласия между теорией и наблюдением привели к созданию так называемой «специальной релятивистской механики», которая оказалась способной объяснить значительно больше фактов, чем классическая механика. Однако сила всемирного тяготения продолжала оставаться такой же загадочной, какой она была и для учёных, живших два столетия назад; правда, с течением времени привыкли к тому, чтобы словами «действие на расстояние» заменять объяснение физической сущности этой силы. Для объяснения силы всемирного тяготения была обобщена специальная релятивистская механика и создана «общая релятивистская механика», с помощью которой и удалось объяснить сущность тяготения, а вместе с тем и указанное выше движение перигелия орбиты Меркурия. Релятивистская механика отказывается от ньютоновских понятий пространства и времени и заменяет их другими, очень далёкими от обычных привычных нам понятий. Однако эта замена делается заметной при очень больших скоростях тел; при обычных же скоростях тел, составляющих малую долю от скорости света, разница между результатами применения ньютоновских понятий Пространства и времени и релятивистских понятий пространства и времени на практике неощутима.
Изучение явлений радиоактивности привело к открытию того, что атомы имеют сложную структуру, причём попытки применения классической механики к изучению движения частей, из которых состоят атомы, например к изучению движения электронов, оказались безуспешными. Для объяснения этих движений была в 30-х годах настоящего столетия создана новая наука «квантовая механика» или «волновая механика», с помощью которой и оказалось возможным изучать внутриатомные движения. Законы квантовой механики во многом значительно отличаются от законов классической механики.
Мы видим, что вместо единой классической механики, претендовавшей в XVIII веке на объяснение всех явлений, в средине XX века мы имеем уже четыре механики: классическую, специальную релятивистскую, общую релятивистскую и квантовую. Но так как выводы классической механики применимы вообще, а в условиях земного опыта применимы всегда, ко всем случаям механического движения макроскопических тел (вплоть до размеров молекул) со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, то изучение классической теоретической механики является существенно необходимым.
Однако никто не может утверждать, что в настоящее время мы уже дошли до границ в области механики и что в будущем никогда не потребуется дальнейших расширений и установлений новых точек зрения. В своей книге «Материализм и эмпириокритицизм» (Сочинения, изд. 4, т. 14, стр. 248) В. И. Ленин писал: «Но диалектический материализм настаивает на приблизительном, относительном характере всякого научного положения о строении материи и свойствах её, на отсутствии абсолютных граней в природе, на превращении движущейся материи из одного состояния в другое, повидимому, с нашей точки зрения, непримиримое с ним и т. д.
Как ни диковинно с точки зрения „здравого смысла" превращение невесомого эфира в весомую материю и обратно, как ни „странно" отсутствие у электрона всякой иной массы, кроме электромагнитной, как ни необычно ограничение механических законов движения одной только областью явлений природы и подчинение их более глубоким законам электромагнитных явлений и т. д., — всё это только лишнее подтверждение диалектического материализма».
Настоящий «Курс теоретической механики» есть курс классической механики, которою мы только и будем заниматься.
Механику можно разбить на три части: кинематику, динамику и статику. Кинематика изучает движение материальных тел с геометрической точки зрения, независимо от причин, его вызывающих или изменяющих. Не прибегая к понятиям силы и массы и считая движение тел заданным, кинематика рассматривает зависимость от времени координат точек тела, их скоростей и ускорений, а также вопрос об изменении этих количеств при переходе от одной системы отсчёта к другой.
Динамика изучает механическое движение тел в зависимости от действующих на них сил. Статика занимается частным случаем динамики: случаем равновесия тел, т. е. случаем, когда результаты действия сил взаимно уничтожаются.
Заметим, что такое разделение механики условно, так как нельзя установить резкой грани между явлениями, относящимися к каждому из этих разделов. Мы, однако, удержим это разделение, так как оно облегчает усвоение механики. Настоящий «Курс теоретической механики» разбит на три раздела: статику, кинематику и динамику; такая последовательность разделов удобна по двум причинам. Во-первых, благодаря этой последовательности оказывается возможным начинать изучение механики раньше, так как для овладения статикой требуются, кроме элементарной математики, лишь некоторые сведения из аналитической геометрии. Приступая к изучению кинематики, учащийся должен быть знаком с элементами дифференциального исчисления, и лишь для усвоения динамики требуется знакомство с интегральным исчислением и с интегрированием дифференциальных уравнений.
Второе соображение, заставляющее начинать курс механики в высших технических учебных заведениях со статики, состоит в том, что при таком порядке изложения является возможность раньше перейти к прикладным наукам, опирающимся в значительной мере на статику.
С принципиальной точки зрения было бы более правильно начинать изучение механики с кинематики, так как изложение при этом выиграло бы в логической стройности. Так, например, при таком порядке не пришлось бы разбивать статику на две части, вставляя между ними кинематику, вследствие того, что вторая часть статики требует знания кинематики. Однако вышеизложенные практические соображения заставляют начинать курс теоретической механики со статики в ущерб строгости изложения и логичности в расположении материала.
Все тела природы известны нам в трёх агрегатных состояниях: твёрдом, жидком и газообразном; сообразно с этим и механика разделяется на механику твёрдых тел, механику жидкостей, или гидромеханику, механику газов, в частности воздуха, или аэромеханику.
Теоретическая механика, в целях построения приближённой теории движения реальных тел, пользуется рядом абстрактных моделей, отображающих те свойства реальных тел, которые играют решающую роль в рассматриваемых явлениях. Так как деформации твёрдых тел под влиянием сил во многих случаях бывают незначительными, то представляется естественным рассматривать в механике абсолютно твёрдые тела т. е. такие, в которых действие сил не вызывает никаких деформаций. Очень часто бывает также, что размерами тела, рассматриваемого в каком-нибудь вопросе, можно пренебречь по сравнению с другими входящими в задачу размерами; поэтому естественно рассматривать в механике материальные точка, т. е. тела, положение которых определяется одной геометрической точкой и которые обладают вместе с тем некоторой массой. В гидромеханике очень часто рассматривают жидкость как несжимаемую и лишённую внутреннего трения, т. е. вязкости. Подобными абстрактными моделями и пользуется теоретическая механика. Теоретическая механика стоит во главе остальных механических дисциплин, так как в ней познаются и исследуются в наиболее общем в чистом виде законы механического движения; поэтому прикладные механические науки, как-то: сопротивление материалов, теория механизмов и машин и другие, неизменно опираются на выводы и методы теоретической механики. Механика исходит из ряда аксиом и принципов, т. е. положений, которые получены в результате обобщения опыта всего человечества за всё время его существования; достоверность этих аксиом и принципов подтверждается постоянно на практике в соответственных областях реальных явлений. К этому необходимо прибавить ещё результаты, получаемые для отдельных вопросов опытным путём; последнее постоянно бывает необходимо для прикладных механических дисциплин. На основе аксиом и принципов содержание теоретической механики развивается математическим путём. Но хотя теоретическая механика и использует в высокой степени математический метод исследования, необходимо, однако, ясно понимать, что теоретическая механика есть одна из наук о природе, что она является естественной наукой, хотя и наиболее отвлечённой из всех естественных наук.
Достоверность теоретической механики зависит от достоверности оснований, на которых она покоится, так как математические выводы из этих оснований, если только они верны, внести ошибок не могут. Поэтому, сравнивая результаты вычислений с результатами наблюдений, мы в случае разногласий между ними должны усомниться в верности оснований, принятых для теоретической механики. Что касается математических методов изложения теоретической механики, то в основу предлагаемого «Курса теоретической механики» положено векторное изложение; причиною этого является следующее. Целый ряд введённых в механику величин: сила, момент силы, момент пары сил, линейная скорость, угловая скорость и т. д., являются векторами. В сущности, само учение о векторах возникло в результате развития общих математических свойств вышеуказанных механических величин; круг механических векторных образов был расширен добавлением целого ряда образов из учения об электричестве. Все основные действия над векторами появились в результате анализа и обобщения действий над соответственными механическими и электрическими величинами. Поэтому векторное изложение теоретической механики является естественным, к тому же оно даёт возможность легче обнаружить математическое единство в разнообразных механико-математических данных и выводах разных разделов теоретической механики. Так, например, достаточно человеку, хорошо знакомому с векторным произведением, узнать, что те или другие величины теоретической механики суть векторные произведения, чтобы уже самому почти непосредственно усмотреть основные свойства этих механических величин и получить основные относящиеся^ к ним предложения. Таким образом, введение в теоретическую механику векторов облегчает запоминание свойств вводимых механических понятий и закрепляет в памяти их геометрические образы; даёт возможность легко усмотреть математическое единство в разнообразных фактах разных разделов теоретической механики; облегчает и сокращает выводы; сокращает буквенные выражения формул; облегчает запоминание формул и их произношение; делает выводы независимыми от принятых осей координат.
Дошедшие до нас исторические памятники показывают, что истоки механических знаний надо искать в глубокой древности. Накопление отрывочных механических знаний в процессе хозяйственной и производственной деятельности человека началось задолго до появления какой-либо теории.
Но уже в древности, помимо накопления наблюдений, стремились освещать эти наблюдения теоретическими обоснованиями; так, Архимеду принадлежит остроумное, не потерявшее интереса и в настоящее время доказательство правила рычага. Возникшая таким образом статика рассматривалась как часть физики. Возникновение динамики относится уже к началу нового времени, когда решение динамических вопросов оказалось необходимым для практики, и вместе с тем сделалось понятным, что в исследовании природы нельзя довольствоваться только отвлечёнными рассуждениями, как это обычно делали в древности, а необходимо обращение к систематическим наблюдениям и экспериментам. Основателями динамики явились Галилей (1564—1642) и, главным образом, живший немного позднее Ньютон, создатель современной классической, или ньютоновской, механики («Математические начала натуральной философии», 1686). После Ньютона успех в развитии теоретической механики зависел главным образом от применения в ней математики, особенно анализа.
В связи с этим в первую очередь следует привести имена Эйлера (1707—1788) («Механика или наука о движении, изложенная аналитически», 1736) и Лагранжа (1736—1818). Труд Лагранжа, названный им «Аналитическая механика» (1788) и выдержанный в чисто аналитическом характере, оказал влияние на всё развитие механики в XIX столетии. После него физические основы теоретической механики были, как бы позабыты, и вся теоретическая механика была понимаема как прикладная математика, причём на этом пути были получены очень важные результаты. В нашей стране в университетах вместо наименования «теоретическая механика» даже употреблялось тогда наименование «прикладная математика». Но с первой четверти XX столетия теоретическая механика опять приобретает значение науки о природе; последнее сделалось особенно ясным после создания релятивистской механики и квантовой механики. Таким образом, статика возникла в древности, динамика возникла в последней четверти XVII столетия; кинематика же, как самостоятельная часть теоретической механики оформилась лишь в первой половине XIX века, причём этому оформлению много содействовала возросшая потребность в ней для изучения движения механизмов и машин.
Наша страна внесла ценные вклады в дело создания и развития разных механических дисциплин, особенно в гидромеханику и аэромеханику. Первым по времени творцом теоретической механики является у нас Эйлер, проживший в Петербурге 31 год и там умерший. Упомянутая выше его книга «Механика или наука о движении, изложенная аналитически» оказала большое влияние на развитие теоретической механики по аналитическому пути; она имела влияние и на Лагранжа. Академику Михаилу Васильевичу Остроградскому (1801 —1861) принадлежит ряд существенных результатов в деле развития теоретической механики по аналитическому пути; к школе Остроградского принадлежит много наших замечательных учёных-механиков. Остроградский дал распространение принципа Гамильтона на случай связей, зависящих от времени, и самое название принципа Гамильтона следует изменить на «принцип Гамильтона — Остроградского».
Для развёртывания аналитической теории механизмов громадное значение имели работы академика Пафнутия Львовича Чебышева (1821 —1894). Из трёх известных случаев, когда движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки можно аналитически изучить до конца, один принадлежит Софье Васильевне Ковалевской (1850 — 1891). Работы Александра Михайловича Ляпунова (1857—1918), посвящённые прочности движения («Общая задача об устойчивости движения», 1892), до сих пор являются непревзойдёнными.
Николай Егорович Жуковский (1847—1921), «отец русской авиации», создал себе мировую известность работами в .области аэродинамики, лёгшей в основу расчёта самолёта. Многочисленные работы Н. Е. Жуковского, относящиеся к самым разнообразным отраслям механики, как теоретической, так и прикладной, вызваны к жизни потребностями практики. Для Жуковского механика была не разделом «прикладной математики», а подлинной наукой о природе, хотя и пользующейся в широких масштабах всеми средствами математики, но во всех стадиях своего развития опирающейся на эксперимент. Академик Сергей Алексеевич Чаплыгин (1869—1942), много и плодотворно потрудившийся в области аэродинамики и гидродинамики, в теоретической механике получил уравнения динамики для систем с так называемыми неголономными связями.
Иван Всеволодович Мещерский (1859—1935) первый дал уравнение движения точки переменной массы, которое в настоящее время имеет очень большое значение для теории реактивного движения.
Много ценных и интересных сведений о развитии механики в Советском Союзе можно найти в книге «Механика в СССР за тридцать лет» ^); в книге приведены также и важнейшие факты из истории механики в России до 1917 г.
СТАТИКА
ГЛАВА I.
СИЛА КАК ВЕКТОР
§ 1. Абсолютно твёрдое тело и материальная точка. Наименование статика происходит от греческого слова «стасис», что значит стояние, неподвижность, спокойствие; таким образом, статика есть наука о неподвижности материальных объектов под действием приложенных к ним сил. Относя положения материальных объектов к упомянутой во «Введении» инерциальной системе осей координат, мы будем называть неподвижность материального объекта под действием приложенных к нему сил относительно выбранной инерциальной системы осей координат абсолютным равновесием.
Поэтому в дальнейшем, говоря: «неподвижная точка», «неподвижная ось» и т. п., мы будем всегда понимать под этими терминами точку, неизменно связанную с инерциальной системой, ось, неизменно связанную с инерциальной системой, и т. п.
Неподвижность материального объекта относительно всяких других осей координат, не связанных наглухо с выбранной инерциальной системой осей, называется относительным равновесием, В статике мы будем иметь дело только с абсолютным равновесием материальных объектов. Но заметим здесь пока без доказательств, что законы абсолютного равновесия можно, вообще, определённым образом распространить и на равновесие материальных объектов на поверхности Земли; причина этого, равно как и всё учение об относительном равновесии, может быть изложена лишь в динамике, что и будет сделано в нашем курсе механики.
Всякое тело под действием приложенных к нему сил, будет ли оно оставаться в покое или приходить в определённое движение, изменяет свой вид, или, как говорят, деформируется. Деформации могут быть значительными, и тогда их легко заметить непосредственно, например растяжение резинового шнура, растяжение пружины, изгиб тонкого металлического бруса и т. д. Но деформации могут быть и мало заметными, так что обнаружить их возможно лишь при помощи измерения специальными инструментами, как, например, удлинение рельса приложенными к его концам растягивающими силами и т. п.
Изучение деформаций тел под действием приложенных к ним сил производится в части механики, называемой теорией упругости и её прикладном отделе — сопротивлении материалов, В общем курсе теоретической механики, как правило, пренебрегают деформациями тел, вводя понятие абсолютно твёрдого тела, т. е. такого тела, в котором действия сил не вызывают никаких деформаций, или у которого взаимные расстояния между всеми точками остаются неизменными. Возможность замены реальных тел абсолютно твёрдыми телами объясняется тем, что во многих случаях деформациями тел можно вследствие их малости пренебречь; где же этого сделать нельзя, результаты, полученные в теоретической механике, могут быть пополнены на основании теорий и методов сопротивления материалов или теории упругости.
Помимо абсолютно твёрдого тела, в теоретической механике вводится ещё второй условный материальный объект. Именно, часто случается, что размерами тела можно пренебречь или по сравнению с его расстояниями до других тел, или по сравнению с размерами других входящих в изучаемую проблему материальных объектов. Таковы, например, случай нашей солнечной системы, где размеры планет ничтожны сравнительно с их расстояниями от Солнца и друг от друга, случай камня и Земли, где размеры камня ничтожны сравнительно с размерами Земли, или случай весьма малой части тела по сравнению со всем телом. Тогда воображают, что вся масса тела, размерами которого можно пренебречь, сжимается в пределе в одну точку, так что в пределе получается точка с некоторой массой, конечной или бесконечно малой; этот предельный объект называется материальной точкой, В настоящем курсе теоретической механики будет доказано, что всякое движение абсолютно твёрдого тела состоит из поступательного движения и вращательного движения этого тела вокруг его центра тяжести, причём поступательное движение определяется движением его центра тяжести, которое происходит так, как если бы вся масса тела была сжата в его центре тяжести, и все силы, приложенные к телу, были перенесены параллельно самим себе в его центр тяжести; таким образом, центр тяжести абсолютно твёрдого тела можно рассматривать как материальную точку с массою, равною массе тела.
Мы воспользовались здесь понятием массы и центра тяжести, предполагая, что они Отчасти уже известны из курса элементарной физики. Эти два условных материальных объекта: абсолютно твёрдое тело и материальная точка^ заменяют собою в теоретической механике реальные материальные объекты, что в высокой степени облегчает исследования, выполняемые в теоретической механике. Ответы, получаемые при этом, бывают таковы, что они в существенной части, вообще, описывают состояние покоя или движения реальных тел; в случае необходимости эти ответы можно уточнить рассмотрением деформаций, причём эти уточнения лишь дополняют, но отнюдь не уничтожают результатов, полученных в теоретической механике.
§ 2. Направление и величина силы. Из повседневного опыта человек заметил, что сила имеет направление, так как можно, например, тянуть любое тело в любом желаемом направлении, прикрепляя верёвку, за которую тянут, в любом месте этого тела. Обобщая и вводя отвлечённые понятия, человек смог высказать утверждение, что сила всегда приложена вдоль прямой, проходящей через какую-нибудь определённую точку тела, и действует в определённую сторону вдоль этой прямой. Таким образом, могли возникнуть понятия о направлении и о прямой действия силы.
...