Некрасов А.И. - Курс теоретической механики.Том 2. Динамика

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящее издание второго тома «Курса теоретической механики» есть воспроизведение предыдущего издания со следующими изменениями. В новом издании исправлены погрешности, имевшиеся в предыдущем издании; заново переработано изложение законов Ньютона; динамика в её основах более тесно связана с физикой; учение о реактивном движении точки дано в раскрытом виде; все примеры получили общую нумерацию, составляющую продолжение нумерации примеров первого тома; наконец, в тексте даны разъяснения и дополнения, облегчающие усвоение курса. Материал книги содержит не только то, что обыкновенно является содержанием читаемых в высших технических учебных заведениях лекций, но и включает ряд дополнительных сведений, которые могут пригодиться при решении средствами теоретической механики практических вопросов. Хотя канонические уравнения находят в настоящее время много применений, особенно в физике, в этом курсе дан только их вывод для простейшего случая; для более основательного изучения их рекомендуется обратиться к более подробным курсам теоретической механики.
При практических приложениях динамики приходится не только применять квадратуры, но и обращаться к интегрированию дифференциальных уравнений, а эти операции, как известно, далеко не всегда можно выполнить аналитически в конечном виде; поэтому в отличие от статики и кинематики, в которых операции интегрирования почти не встречаются, может казаться, что область применения динамики должна быть весьма ограничена со стороны математики вследствие невозможности довести многие задачи до конца аналитически. Такой взгляд был бы ошибочным, как это было уже указано в предисловии к предыдущему изданию. Чтобы довести эти задачи до конца, необходимо только отказаться от аналитического метода решения дифференциальных уравнений и сведения задач к-квадратурам и перейти к численным методам. Эти методы находят в приложениях теоретической механики к практике весьма широкое применение. Чтобы не загромождать этот курс вычислениями, при выполнении численных операций не будет преследоваться большая точность; так, при механических квадратурах будет всегда применяться способ трапеций, а при интегрировании дифференциальных уравнений — способ приближённого интегрирования внутри малых интервалов с отбрасыванием всех разностей, начиная со второго порядка. Читатель, желающий подробнее ознакомиться с приёмами численного решения уравнений, должен обратиться к специальным курсам, посвященным этому вопросу.
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ГЛАВА XXIV.
РАБОТА И МОЩНОСТЬ.
§ 106. Исторические указания. Принцип возможных перемещений, на котором в отличие от элементарной статики, изложенной в первом томе настоящего курса механики, основывается так называемая аналитическая статика, есть наиболее общий принцип статики. Так как в принципе возможных перемещений в его общем случае следует рассматривать лишь бесконечно малые перемещения, а всякое бесконечно малое перемещение равно скорости, умноженной на дифференциал времени, то принципу возможных перемещений можно дать наименование: принцип возможных скоростей; под таким наименованием: principe des vitesses virtuelles, он и известен во Франции. Принцип возможных перемещений в полной его общности был впервые установлен Лагранжем. В применении к рычагу его впервые заметил Гвидо Убальди (1545—1607). Галилей нашёл его в применении к наклонной плоскости. Ученик Галилея Торричелли дал принцип, носящий его имя (Статика, § 53) и представляющий частный случай принципа возможных перемещений. Иван Бернулли (1667—1748) был первым, кто понял чрезвычайно большую общность принципа возможных перемещений и его значение для решения задач статики, что видно из одного письма Ивана Бернулли к Вариньону, датированного 1717 г. Лагранж изложил принцип возможных перемещений в первом томе своей «Аналитической механики», появившемся в 1788 г.
§ 107. Элементарная работа силы и работа силы на конечном пути. Понятие работы силы применяется в следующих разделах теоретической механики: в аналитической статике, основанной на принципе возможных перемещений, в динамике точки, в динамике системы и в теории потенциала, а в технической механике — в учении о работе машин. Для принципа возможных перемещений понятие о работе силы является основным понятием.
Понятие работы заимствовано из повседневной жизни: человек совершает работу, когда, преодолевая какое-либо сопротивление, перемещает тот или другой предмет, на который он воздействует силой, развиваемой его мускулами. При этом величина совершённой работы представляется пропорциональной величине развиваемого мускульного усилия и длине пути, на котором преодолевается сопротивление.
Элементарная работа силы равна произведению модуля силы на проекцию элементарного перемещения на направление силы или равна произведению модуля элементарного перемещения на проекцию силы на направление этого перемещения.
Так как проекция суммы векторов равна сумме проекций составляющих, то из этого определения непосредственнo следует, что элементарная работа силы на сложном перемещении равна сумме элементарных работ на составляющих перемещениях. Следует заметить, что введённое здесь понятие работы не всегда эквивалентно тому, что понимают под работой с физиологической точки зрения. Так, например, если человек несёт по горизонтальному пути тяжёлый груз, то кажется, что с точки зрения механики поддерживающая этот груз сила F, развиваемая человеком, не совершает работы, так как эта сила F направлена вертикально вверх, путь же горизонтален, и потому на любом элементе dr пути будет F • dr = 0; но очевидно, что на самом деле человеком при этом совершается весьма большая работа. Даже когда человек стоит на месте, держа рукой тяжёлый груз, расходуется нервная энергия на поддержание мускулов руки в напряжённом состоянии. Происходящее при этом явление схематически можно себе представить так. В известный момент времени напряжение мускулов ослабевает, сила тяжести груза берёт верх, и груз несколько опускается; сейчас же человек увеличивает мускульное усилие и снова приподнимает груз, затем следует новое ослабление мускульного напряжения и т. д. Таким образом, при кажущемся равновесии на самом деле центр тяжести груза совершает чуть заметные колебания, и если просуммировать все перемещения груза, направленные вверх, и помножить на среднее значение мускульного усилия, то получится довольно значительная величина. При ходьбе к этому присоединяется работа, которую человек совершает из-за необходимости приподнимать свой центр тяжести, а вместе с тем и центр тяжести груза при перестановке ноги.
...