Голдстейн - Классическая механика

Г.Голдстейн

КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие автора 8

Глава 1. Обзор элементарных принципов 13

§1.1. Механика материальной точки 13

§ 1.2. Механика системы материальных точек 17

§1.3. Связи 23

§ 1.4. Принцип Даламбера и уравнения Лагранжа 28

§ 1.5. Потенциал, зависящий от скорости, и диссипативная функция 32

§ 1.6. Примеры получения уравнений Лагранжа 36

Задачи 40

Рекомендуемая литература 41

Глава 2. Уравнения Лагранжа и вариационные принципы 43

§ 2.1. Принцип Гамильтона 43

§ 2.2. Некоторые приёмы вычисления вариаций 44

§ 2.3. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона 50

§ 2.4. Обобщение принципа Гамильтона на неконсервативные и не голономные системы 52

§ 2.5. Преимущества вариационной концепции 58

§ 2.6. Теоремы о сохранении; свойства симметрии 61

Задачи 69

Рекомендуемая литература 71

Глава 3. Проблема двух тел 72

§ 3.1. Сведение проблемы к эквивалентной задаче для одного тела 72

§ 3.2. Уравнения движения и первые интегралы 73

§ 3.3. Эквивалентная одномерная задача и классификация орбит 78

§ 3.4. Теорема о вириале 83

§ 3.5. Дифференциальное уравнение орбиты и интегрируемые степенные потенциалы 86

§ 3.6. Сила, изменяющаяся обратно пропорционально квадрату расстояния. Законы Кеплера 91

§ 3.7. Рассеяние частиц в поле центральной силы 96

§ 3.8. Приведение задачи о рассеянии к лабораторной системе координат 100

Задачи 105

Рекомендуемая литература 107

Глава 4. Кинематика движения твёрдого тела 108

§4.1. Независимые координаты твёрдого тела 108

§ 4.2. Ортогональные преобразования 112

§ 4.3. Формальные свойства матрицы преобразования 116

§ 4.4. Углы Эйлера 123

§ 4.5, Параметры Кэйли — Клейна 125

§ 4.6. Теорема Эйлера о движении твёрдого тела 134

§ 4.7. Бесконечно малые повороты 140

§ 4.8. Скорость изменения вектора 149

§ 4.9. Сила Кориолиса 152

Задачи 157

Рекомендуемая литература 159

Глава 5. Уравнения движения твёрдого тела 161

§ 5.1. Кинетический момент и кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку 161

§ 5.2. Тензоры и диады 164

§ 5.3. Тензор инерции и момент инерции 167

§ 5.4. Собственные значения тензора инерции и главные оси преобразования 170

§ 5.5. Общий метод решения задачи о движении твёрдого тела. Уравнения Эйлера 175

§ 5.6. Свободное движение твёрдого тела 178

§ 5.7. Тяжёлый симметричный волчок с одной неподвижной точкой 183

§ 5.8. Прецессия заряженных тел в магнитном поле 196

Задачи 198

Рекомендуемая литература 202

Глава 6. Специальная теория относительности 205

§ 6.1. Основная программа специальной теории относительности 205

§ 6.2. Преобразование Лоренца 208

§ 6.3. Ковариантная форма уравнений 214

§ 6.4. Уравнение движения и уравнение энергии в релятивистской механике 220

А 6.5. Релятивистские уравнения Лагранжа 226

§ 6.6. Ковариантная форма лагранжиана 229

Задачи 232

Рекомендуемая литература 235

Глава 7. Уравнения Гамильтона 236

§ 7.1. Преобразования Лежандр>) и уравнения Гамильтона 236

§ 7.2. Циклические координаты и метод Рауса 239

§ 7.3. Теоремы о сохранении и физический смысл гамильтониана 241

§ 7.4. Вывод уравнений Гамильтона из вариационного принципа • 246

§ 7.5. Принцип наименьшего действия 24У

Задачи 266

Рекомендуемая литература 257

Глава 8. Канонические преобразования 259

§ 8.1. УравненияАканонических преобразований 259

§ 8.2. Примеры канонических преобразований 266

§ 8.3. Интегральные инварианты-Пуанкаре 269

§ 8.4. Скобки Лагранжа и скобки Пуассона как канонические инварианты 272

§ 8.5. Скобки Пуассона и уравнения движения 2У8

§ 8.6. Бесконечно малые канонические преобразования. Константы движения и свойства симметрии 280

§ 8.7. Скобки Пуассона и кинетический момент 28Ь

§ 8.8. Теорема Лиувилля 289

Задачи 291

Рекомендуемая литература 294

Глава 9. Метод Гамильтона—Якоби 296

§ 9.1. Уравнение Гамильтона—Якоби 296

§ 9.2. Задача о гармоническом осцилляторе 300

§ 9.3. Характеристическая функция Гамильтона 302

§ 9.4. Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби 307

§ 9.5. Переменные действие — угол 311

§ 9.6. Другие свойства переменных действие — угол 316

§ 9.7. Задача Кеплера в переменных действие — угол 321

§ 9.8. Геометрическая оптика и волновая механика 330

Задачи 337

Рекомендуемая литература 338

Глава 10. Малые колебания 340

§ 10.1. Постановка задачи 340

§ 10.2. Собственные значения и преобразование главных осей 343

§ 10.3. Собственные частоты и главные координаты 352

§ 10.4. Свободные колебания трёхатомной молекулы 356

§ 10.5. Вынужденные колебания и диссипативные силы 361

Задачи 367

Рекомендуемая литература 368

Глава 11. Методы Лагранжа и Гамильтона для непрерывных систем и полей 370

§ 11.1. Переход от дискретной системы к непрерывной 370

§ 11.2. Уравнения Лагранжа для непрерывных систем 373

§ 11.3. Звуковые колебания в газах 378

§ 11.4. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем 382

§ 11.5. Описание полей с помощью вариационных принципов 387

Задачи 392

Рекомендуемая литература 393

Библиография 394

Принятые обозначения 398

Предметный указатель 404

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Углублённый курс классической механики долгое время считался обязательной частью учебных планов по физике. Однако в  настоящее время целесообразность такого курса может показаться  сомнительной, так как студентам старших курсов или аспирантам он не даёт новых физических понятий, не вводит их непосредственно в современные физические исследования и не оказывает им заметной помощи при решении тех практических задач механики, с которыми им приходится встречаться в лабораторной практике. Но, несмотря на это, классическая механика всё же остаётся неотъемлемой частью физического образования. При подготовке студентов, изучающих современную физику, она играет двоякую роль. Во-первых, в углублённом изложении она может быть использована при переходе к различным областям современной физики. Примером могут служить переменные действие—угол, нужные при построении старой квантовой механики, а также уравнение Гамильтона — Якоби и принцип наименьшего действия, обеспечивающие переход к  волновой механике, или скобки Пуассона и канонические  преобразования, которые весьма ценны при переходе к новейшей квантовой механике. Во-вторых, классическая механика позволяет студенту, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить многие математические методы, необходимые в квантовой механике.

Обычное изложение, установившееся в основном около  пятидесяти лет назад, конечно, не отвечает указанным целям. Поэтому автор сделал попытку привести классическую механику в  соответствие с последними требованиями. В книге подчёркиваются  формулировки, которые важны для современной физики, и всюду, где это возможно, используются математические методы,  применяемые обычно в квантовой механике и обеспечивающие компактность и изящество изложения. Например, в связи с движением под действием центральных сил рассматривается задача о рассеянии элементарных частиц и даётся классическое решение этой задачи.

Большое место в книге отведено каноническим преобразованиям, скобкам Пуассона, теории Гамильтона—Якоби и переменным  действие— угол. Дано также введение в теорию вариационных  принципов для непрерывных систем и полей.

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к  исследованию вращения твёрдого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твёрдого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции,  преобразование Лоренца в пространстве Минковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении  тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли— Клейна матричные методы позволяют ввести понятие «спинора».

Кроме того, мы сознательно допустили и некоторые другие  отступления от обычного построения курса. Например, специальная теория относительности часто излагается недостаточно последовательно, если не считать весьма специального курса, охватывающего также и общую теорию относительности. Однако важность этой теории в современной физике требует знакомства с ней уже в ранней стадии обучения. Поэтому мы посвятили специально этому предмету шестую главу. Другим нововведением является рассмотрение сил, зависящих от скорости. В прошлом классическая механика строилась в основном на «статических» силах, т. е. силах, зависящих только от положения, таких, например, как гравитационные силы. Однако в современной физике нам постоянно приходится встречаться с силами, зависящими от скорости, например, с электромагнитными силами.

Для того чтобы возможно раньше научить студента обращению с этими силами, мы с самого начала ввели потенциалы, зависящие от скорости, и затем постоянно пользовались ими. Следующим новшеством этой книги является включение в неё механики непрерывных систем и полей (гл. 11). Вообще говоря, эти вопросы охватывают теорию упругости, гидродинамику и акустику, однако в таком объёме они выходят за рамки настоящей книги и, кроме того, по ним имеется соответствующая литература. В  противоположность этому не существует хорошей литературы по  применению классических вариационных принципов к непрерывным системам, хотя роль этих принципов в теории полей элементарных частиц всё время возрастает. Вообще теорию поля можно развить достаточно глубоко и широко ещё до рассмотрения квантования.

Например, вполне возможно рассматривать тензор напряжение — энергия, микроскопические уравнения неразрывности, пространство обобщённых импульсов и т. д., целиком оставаясь при этом в рамках классической физики. Однако строгое рассмотрение этих вопросов предъявило бы чрезмерно высокие требования к студентам. Поэтому было решено (по крайней мере в этом издании) ограничиться лишь элементарным изложением методов Лагранжа и Гамильтона в  применении к полям.

Стремясь к тому, чтобы этой книгой могли пользоваться лица с различной подготовкой, автор включил в главы 1 и 3 многое из того, что обычно содержится в общих курсах механики. Математическая подготовка, необходимая для чтения этой книги, как правило, не выходит за пределы обычных курсов высшей  математики и векторного анализа. Поэтому в книге отводится  значительное место изложению более сложных математических методов, необходимых при изучении некоторых вопросов. В тех случаях, когда речь шла об электромагнитных силах, мы предполагали элементарное знакомство читателя с уравнениями Максвелла и простейшими следствиями из них. Кроме того, мы предполагали некоторое знакомство с современной физикой, учитывая, что большинство студентов старших курсов или аспирантов изучали её, по крайней мере, в течение одного семестра. Поэтому автор часто коротко останавливался на связи между классическим  развитием механики и его квантовым продолжением.

В литературе по механике встречается много элементарных задач, и поэтому мы считали нецелесообразным помещать их в  большом количестве. По этой причине задачи, помещённые нами в конце каждой главы, служат большей частью продолжением текста и относятся к некоторым частным вопросам или различным вариантам доказательств теорем, Традиционных педантичных задач мы  старательно избегали. Выбор подходящих обозначений всегда связан с известными трудностями, так как нелегко найти обозначения, имеющие  единственный смысл и не являющиеся громоздкими. В этой книге мы следовали установившейся практике, обозначая векторы полужирным латинским шрифтом, а все матрицы и тензоры — полужирным рубленым шрифтом. Список наиболее важных обозначений,  встречающихся в этой книге, приводится в её конце. Второстепенные обозначения, встречающиеся лишь один раз, в этот список не включены.

Для более глубокого изучения изложенного материала и  ознакомления читателей с незатронутыми вопросами в конце каждой главы приводится список рекомендуемой литературы. Этот список сопровождается краткими аннотациями, которые даются для  ориентации студентов в существующей литературе по механике. Конечно, эти аннотации выражают только личное мнение автора. В конце всей книги имеется также общий библиографический список,  содержащий много книг, не указанных ранее; он, однако, не содержит устаревших книг. Литературой, указанной в этом списке, автор пользовался при написании данной книги и поэтому считает своим долгом выразить признательность авторам перечисленных работ.

Настоящая книга написана по материалам лекций по  классической механике, прочитанных автором в Гарвардском университете. Автор выражает благодарность заведующему кафедрой физики профессору ван Флеку за его личную и официальную поддержку, а также профессору Швингеру и другим своим коллегам за ряд ценных советов. Кроме того, автор глубоко признателен слушавшим его лекции студентам, активный интерес и доброжелательное  отношение которых служили постоянным стимулом в работе автора над этой книгой.

Герберт Голдстейн

Кембридж

Март 1950

Г Л А В А 1

ОБЗОР ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРИНЦИПОВ

Законы движения материальных тел являлись предметом ранних исследований физиков, усилиями которых была создана обширная область, известная в своё время под названием аналитической  механики или динамики, или просто механики. В настоящее время для обозначения этой области физики пользуются термином  «классическая механика», противопоставляя ей более новые физические теории, в особенности квантовую механику. Таким образом, под термином «классическая механика» мы будем понимать механику, сложившуюся до создания специальной теории относительности.

Целью настоящей книги является изложение методов классической механики и некоторых из её приложений, представляющих в  настоящее время интерес для физики.

Механика строится на ряде основных физических представлений, таких, как время, пространство, одновременность, масса, сила. При изложении специальной теории относительности мы коротко остановимся на таких понятиях, как одновременность событий и масштаб времени и длины. Однако большей частью мы не будем подвергать эти понятия критическому анализу, а будем считать их первоначальными, смысл которых читателю ясен.

§ 1.1. Механика материальной точки. Физическое содержание механики материальной точки составляет второй закон Ньютона, который можно рассматривать или как основной постулат, или как определение силы и массы.