Коддингтон - Теория обыкновенных дифференциальных уравнений (1958)

АННОТАЦИЯ

В книге американских математиков Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона «Теория обыкновенных дифференциальных  уравнений» дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов изложение современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлены следующие разделы: теоремы  существования и единственности, линейные уравнения, аналитическая теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре— Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе.

Книга будет очень полезна всем математикам, физикам и инженерам, так или иначе соприкасающимся с  дифференциальными уравнениями.

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Книга Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона содержит подробное изложение разнообразных разделов теории обыкновенных  дифференциальных уравнений. Наряду с традиционными разделами этой теории, например таким и, как теоремы существования и  единственности или теория линейных систем, авторы дают довольно  подробное изложение аналитической теории дифференциальных  уравнений, теории самосопряженных краевых задач как для  конечного, так и для бесконечного интервала, а также введение в теорию несамосопряженных краевых задач.

Перечисленные разделы составляют содержание глав с I по XII включительно и, по существу, образуют первую часть книги,  посвященную линейным уравнениям.

Вторая часть книги, именно главы с XIII по XVII, посвящена нелинейной теории. Здесь изучается устойчивость решений,  периодические решения и теория возмущения систем, имеющих  периодическое решение, качественная теория систем второго порядка (включая теорию Пуанкаре—Бендиксона) и, наконец, теория  уравнений на торе. Более подробное представление о содержании книги читатель может получить из оглавления.

Книга содержит много новинок. Большой интерес представляет систематическое применение в аналитической теории  дифференциальных уравнений понятия формального решения. Спектральная теория самосопряженных дифференциальных уравнений изложена независимо от теории операторов в пространстве Гильберта.

К каждой главе приложено большое число задач; при этом наряду с легкими имеются также задачи значительной трудности. В большинстве случаев трудные задачи сопровождаются  указаниями авторов, облегчающими их решение. Следует заметить, что решения многих задач можно найти в журнальных статьях, однако авторы в таких случаях ссылок на литературу не дают. Книга является хорошим введением в большое число важных разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и может быть использована в качестве учебного пособия для  студентов и аспирантов физико-математических факультетов, а также может оказаться полезной для научных работников.

Б. М. Левитан.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ

Эта книга возникла из лекций, читанных авторами, и содержит, вероятно, больше материала, чем обычно излагается в  одногодичном курсе. Выбор материала частично обусловлен интересами авторов.

Мы надеемся, что книга окажется полезной как в области  практических применений дифференциальных уравнений, так и для математиков, не занимающихся приложениями. Для чтения книги необходимо знакомство с теорией матриц и с основами теории функций комплексного переменного. Понятие интеграла Лебега используется в главах II, VII, IX и X. Однако глава II необходима лишь для некоторых параграфов главы XV, которые в части,  относящейся к практическим применениям, полностью покрываются главой XIII. В главе VII можно легко обойтись без интеграла Лебега, что там и указано. Однако строгое изучение глав IX и X требует известного математического развития и, во всяком случае, предполагает понимание тех теорем теории интегрирования, которые здесь используются. Другой подход состоит в применении теории глав IX и X к ограниченному классу функций, как это указано в доказательстве теоремы 3.1 гл. IX. Этот подход предполагает лишь знание интеграла Римана—Стильтьеса.

Главы III—XII посвящены линейным уравнениям. Для линейной теории теоремы существования решений гл. I не необходимы.

Теорема, необходимая для гл. III, намечена в задаче 1, помещенной в конце этой главы. Для глав IV и V достаточны результаты § 7 гл. III. Задача 7 гл. I обеспечивает необходимые дополнительные результаты существования для глав VII—XII.

Главы IV, V и VI не используются ни в одной из последующих глав. Глава VIII также не нужна ни для одной из последующих глав, не исключая глав IX и X. Глава VIII не зависит от главы VII. Для главы XII требуется лишь глава VII, а для § 5 — также глава XI.

Для глав XIII и XIV нужны только главы I и III. Для большей части главы XV и для глав XVI и XVII достаточна гл. I.

Не делается никакой попытки показать историческое  возникновение теории, и в конце книги дано только ограниченное число ссылок. В соответствии с этим авторы не делают указаний в тексте в тех случаях, когда они излагают новые результаты.

Задачи в некоторых случаях дают дополнительный материал, не рассмотренный в тексте.

Авторы выражают благодарность коллегам и студентам,  прочитавшим отдельные части рукописи, в частности Ф. Г. Брауэру, проф. А. Хорну и доктору Дж. Дж. Левину.

Эрл А. Коддингтон,

Норман Лееинсон.