Маркеев - Теоретическая механика (1999)

Книга представляет собой строгое, целостное и компактное изложение основных задач и методов теоретической механики. Она значительно отличается от существующих учебников по теоретической механике как по подбору материала, так и по способу его изложения. Основное внимание уделено  рассмотрению наиболее содержательных и ценных для теории и  приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе  кинематики подробно обсуждаются общие основания кинематики  системы; некоторые методические идеи являются новыми в учебной литературе.

Для студентов механико-математических факультетов  университетов, а также для студентов втузов, обучающихся по  специальности «Механика» и «Прикладная математика»,  преподавателей механики, аспирантов.

Табл. 1. Ил. 177. Библиогр. 9 назв.

© А. П. Маркеев, 1999

© Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика», 1999

Предисловие к первому изданию

С развитием науки и техники узкоспециальные знания довольно быстро устаревают. Для решения возникающих принципиально новых актуальных задач научные работники и инженеры обязательно  должны обладать, помимо необходимой способности к доучиванию и  переучиванию, хорошей подготовкой в области фундаментальных наук. Это требует постоянного всестороннего совершенствования вузовского  образования. Наиболее перспективный путь лежит именно в повышении значимости общенаучных дисциплин в учебных планах подготовки  будущих научных работников и инженеров, в совершенствовании  преподавания таких фундаментальных дисциплин, как физика, математика и механика.

Как фундаментальная наука теоретическая механика была и  остается не только одной из дисциплин, дающей углубленные знания о  природе. Она также служит средством развития у будущих специалистов необходимых творческих навыков к построению математических  моделей происходящих в природе и технике процессов, к выработке  способностей к научным обобщениям и выводам.

Усовершенствование курса теоретической механики надо искать в следующих двух основных направлениях. Во-первых, курс должен быть строгим, логичным, целостным и компактным; он должен позволять в краткое время изложить основные понятия и методы теоретической механики. Во-вторых, в нем не следует уделять много внимания  элементарным вопросам статики и кинематики; надо сконцентрировать усилия на рассмотрении наиболее содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики.

Данная книга возникла в результате продолжительной преподавательской работы автора на факультете прикладной математики  Московского авиационного института им. Серго Орджоникидзе. В ее основу положены лекции, читаемые будущим инженерам-математикам. 

Содержание книги несколько превосходит тот материал, который излагается на лекциях. При написании книги преследовались, главным образом, дидактические цели. В качестве будущего вероятного читателя автор видит прежде всего студента, желающего получить хорошую первоначальную подготовку по основным задачам и методам теоретической механики.

Автор надеется, что эта книга может оказаться полезной преподавателям механики, а также аспирантам и научным работникам в области прикладной математики и механики.

Данная книга существенно отличается от имеющихся учебников по теоретической механике для вузов как по подбору материала, так и по способу его изложения. Содержание книги хорошо видно из оглавления.

Чтобы выявить методические отличия, достаточно, например, ознакомиться с изложением статики, важнейших разделов кинематики, вариационных принципов механики, теории канонических преобразований.

Трудно перечислить те учебники, монографии, статьи, под  влиянием которых сложились методические взгляды автора. Очень важно здесь также влияние собственного опыта научной и преподавательской работы автора, научного и педагогического опыта его московских  коллег и друзей. Список литературы, которая наиболее широко  использовалась, дан в конце книги. Некоторые монографии, учебники и статьи упомянуты в подстрочных замечаниях.

Предисловие ко второму изданию

Настоящее издание книги по сравнению с первым изданием,  вышедшим в 1990 г., имеет следующие отличия.

Добавлена новая глава XII «Теория импульсивных движений» и § 6 главы XI «Переменные действие-угол», расширен п. 95, посвященный эллиптическим интегралам и функциям, в § 4 главы XI добавлено  несколько новых примеров канонических преобразований, а в § 5 этой же главы — новый п. 178, в котором рассматривается характеристическая функция Гамильтона.

Кроме того, устранены некоторые замеченные опечатки и  погрешности изложения.

Автор благодарен читателем за внимание к первому изданию книги и за доброжелательную критику, которая вполне учтена при подготовке второго издания.

Введение

Механика — это наука о движении и взаимодействии материальных тел. Под движением понимается механическое движение, т. е.  изменение положения тел или частей тела в пространстве с течением  времени. Основанная, как и всякая физическая наука, на наблюдении и опыте, механика может быть разделена на наблюдательную (опытную) и теоретическую.

Наблюдательная (опытная) механика входит в различные отделы экспериментальной физики, астрономии, техники. В ней  устанавливается связь между свойствами материальных тел, их движением и причинами, вызывающими или изменяющими движение. Эти  причины называют силами. Упомянутая связь формулируется в виде законов движения, которые не являются математическими следствиями каких- то изначальных истин, а представляют собой индуктивные положения, основанные на большом числе согласующихся между собой опытных фактов. Эти положения представляют собой утверждения о свойствах движения материальных объектов, верные с той или иной точностью.

Теоретическая, или рациональная, механика опирается на  некоторое конечное число законов, установленных в опытной механике, принимаемых за истины, не требующих доказательства — аксиомы. Эти аксиомы заменяют собой в теоретической механике индуктивные  истины опытной механики. Теоретическая механика имеет дедуктивный характер. Опираясь на аксиомы как на известный и проверенный практикой и экспериментом фундамент, теоретическая механика возводит свое здание при помощи строгих математических выводов.

По Ньютону теоретическая механика «есть учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых для производства каких бы то ни было движений, точно изложенное и доказанное.

Теоретическая механика как часть естествознания, использующая математические методы, имеет дело не с самими реальными материальными объектами, а с их моделями. Такими моделями, изучаемыми в теоретической механике, являются материальные точки, системы материальных точек, абсолютно твердые тела, деформируемые сплошные среды. В данной книге механика сплошных сред не рассматривается. При изучении теоретической механики методически удобно разделить ее на кинематику и динамику; из динамики часто выделяют еще статику. В кинематике движение изучается только с  геометрической точки зрения; причины, обусловливающие движение, кинематика не рассматривает. Изучением движения в связи с причинами,  вызывающими или изменяющими его, занимается динамика. Как часть  динамики статика изучает те условия, при которых материальные объекты могут оставаться в покое; к статике относится также разработка  способов эквивалентных преобразований систем сил. Подробнее о задачах, изучаемых в кинематике, динамике и ее части — статике сказано в соответствующих главах книги.

Глава I

Кинематика точки и системы

§ 1. Основные понятия, задачи кинематики

1. Пространство и время. Механическое движение происходит в пространстве и времени. В теоретической механике в качестве  моделей реальных пространства и времени принимаются их простейшие модели — абсолютное пространство и абсолютное время,  существование которых постулируется. Абсолютные пространство и время  считаются независимыми одно от другого; в этом состоит основное отличие классической модели пространства и времени от их модели в теории относительности, где пространство и время взаимосвязаны.

Предполагается, что абсолютное пространство представляет  собой трехмерное, однородное и изотропное неподвижное евклидово  пространство. Наблюдения показывают, что для небольших по размерам областей реального физического пространства евклидова геометрия справедлива.

Абсолютное время в теоретической механике считается  непрерывно изменяющейся величиной, оно течет от прошлого к будущему. Время однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.

Движение в его геометрическом представлении имеет  относительный характер: одно тело движется относительно другого, если  расстояния между всеми или некоторыми точками этих тел изменяются. Для удобства исследования геометрического характера движения в  кинематике можно взять вполне определенное твердое тело, т. е. тело, форма которого неизменна, и условиться считать его неподвижным. Движение других тел по отношению к этому телу будем в кинематике называть абсолютным движением. В качестве неподвижного тела отсчета обычно выбирают систему трех не лежащих в одной плоскости осей (чаще  всего взаимно ортогональных), называемую системой отсчета, которая по определению считается неподвижной (абсолютной) системой  отсчета или неподвижной (абсолютной) системой координат. В кинематике этот выбор произволен. В динамике такой произвол недопустим. За единицу измерения времени принимается секунда: 1 с = 1/86 400 сут, определяемых астрономическими наблюдениями. В кинематике надо еще выбрать единицу длины, например 1 м, 1 см и т. п. Тогда основные кинематические характеристики движения: положение, скорость, ускорение, о которых будет идти речь дальше, определяются при помощи единиц длины и времени.

Если некоторый определенный момент принять за начало отсчета времени, то всякий другой момент времени однозначно определяется соответствующим числом t, т. е. числом секунд, прошедших между начальным и рассматриваемым моментом. Это число положительно или отрицательно, смотря по тому, следует ли рассматриваемый момент времени за начальным или предшествует ему, т. е. - ∞ < t < +∞.

2. Материальная точка. Механическая система. Под  материальной точкой понимается частица материи, достаточно малая для того, чтобы ее положение и движение можно было определить как для объекта, не имеющего размеров. Это условие будет выполнено, если при изучении движения можно пренебречь размерами частицы и ее вращением. Можно или нельзя принять материальный объект за  материальную точку, зависит от конкретной задачи. Например, при  определении положения спутника Земли в космическом пространстве очень часто целесообразно принимать его за материальную точку; если же рассматриваются задачи, связанные с ориентацией антенн, солнечных батарей, оптических приборов, установленных на спутнике, то его  нельзя считать материальной точкой, так как в вопросах ориентации  нельзя пренебрегать вращением спутника и его следует рассматривать как объект, имеющий конечные, хотя и малые по сравнению с расстоянием до Земли, размеры.

В теоретической механике материальная точка представляет  собой геометрическую точку, наделенную по определению  механическими свойствами; эти свойства будут рассмотрены в динамике. В  кинематике же материальная точка отождествляется с геометрической точкой.