Зенкевич - Метод конечных элементов в технике

Монография посвящена изложению основ метода конечных элементов — одного из наиболее эффективных современных методов численного решения инженерных, физических и математических задач с применением вычислительных машин.

В книге рассмотрены основные принципы метода конечных элементов и их приложение к задачам теории упругости, теории пластин и оболочек, теплопроводности, теории потенциала.

Значительное внимание уделено изопараметрическим  криволинейным элементам, динамическим задачам и нелинейным  проблемам, обусловленным пластичностью и большими  перемещениями. Приведено много примеров решения задач строительной механики, аэронавтики и электрических систем.

Книга представляет большой интерес для ннженеров-конструкторов, специалистов в области теории упругости,  теплофизики, гидро- и аэродинамики, а также аспирантов и студентов старших курсов технических вузов.

Перевод на русский язык «Мир», 1975

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

В связи с техническим прогрессом изменились многие  инженерные задачи: они стали сложнее, и их решение требует  введения новых понятий. Изменился и подход к практическим  инженерным задачам. Если раньше инженер мог, исходя из рассматриваемого физического явления или технической  проблемы, «поставить» задачу и предоставить ее решение,  математику-вычислителю, то сейчас дело обстоит иначе. Во многих инженерных задачах построение расчетной модели настолько тесно переплетается с процессом вычислений, что разделить эти процессы порой не представляется возможным. В связи с этим появились новые понятия и направления, такие, как диакоптика (исследование сложных систем по частям), теории  графов и др.

В последнее время широкую известность приобрело одно из направлений диакоптики—метод конечных элементов,  которому и посвящена настоящая монография. Этот метод является одним из вариационных методов и часто трактуется как метод Ритца. Область, занимаемая телом, разбивается на конечные элементы. Чаще всего это треугольники в плоском случае и тетраэдры в пространственном. Внутри каждого элемента задаются некоторые функции формы, позволяющие определить перемещения внутри элемента по перемещениям в узлах, т. е. в местах стыков конечных элементов. За координатные  функции принимаются функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они  совпадают с функциями формы. В качестве неизвестных  коэффициентов метода Ритца берутся узловые перемещения. После минимизации функционала энергии получается алгебраическая система уравнений (так называемая основная система). Таким образом, ситуация здесь такая же, как и в вариационных разностных методах, в которых для получения разностной системы уравнений применяется один из вариационных принципов.

В отличие от вариационно-разностного метода в методе конечных элементов существенную роль играют функции формы, точнее их интерполяционные свойства. В этом смысле метод конечных элементов близок к теории сплайн-функций,  интенсивно разрабатываемой в последнее время.

В настоящее время методом конечных элементов пользуются при решении самых разнообразных задач математической  физики, хотя первые работы по методу конечных элементов были выполнены специалистами по строительной механике. Это  обстоятельство отразилось не только на терминологии метода, но и на его первичной интерпретации, которая, видимо, и объясняет огромную популярность метода конечных элементов среди инженеров. Эта интерпретация состоит в следующем: сплошная среда заменяется некоторой эквивалентной  шарнирной системой, а техника расчета статически неопределимых шарнирных систем хорошо известна каждому инженеру. 

Особенно популярен метод перемещений, который аналогичен  методу составления основной системы уравнений конечных  элементов, используемому в этой книге.

Как ни популярен метод конечных элементов в настоящее время, он, разумеется, не является единственным эффективным численным методом. Главным недостатком этого метода, как и любого вариационного метода, является сложность получения априорных оценок. Проверку надежности метода можно  осуществлять пока лишь опробированием каждой программы на точных решениях.

При чтении книги следует иметь в виду, что автор не  является математиком и некоторые из его высказываний  математиками могут быть приняты «в штыки». Интуитивные  соображения автора относительно сходимости метода и его обоснования, разумеется, не заменяют строгих математических исследований, хотя их нельзя оставить без внимания, учитывая огромный опыт автора как вычислителя.

Читатель найдет в этой книге много интересных мыслей, идей.- Наличие программ, составленных на алгоритмическом языке ФОРТРАН, сильно облегчит ему практическое освоение метода.

Перевод гл. 16 выполнен Г. Г. Шахверди, остальные главы переведены А. М. Васильевым и В. М. Курочкиным. В заключение мне хочется выразить благодарность автору за любезно присланный список опечаток в английском издании.

Б. Победря

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Значительную часть предисловия первого издания этой книги, опубликованного в 1967 г.'), пришлось посвятить объяснению того, что понимается под методом конечных элементов. В настоящее время вследствие появления большого количества работ, в которых рассматривается этот метод, в таком  объяснении почти нет необходимости. Возникнув как один из приемов исследования конструкций разнообразных форм, он получил к настоящему времени всеобщее признание как общий метод изучения широкого класса задач техники и физики. 

Существенное развитие метода как в прикладном, так и в теоретическом аспектах привело к необходимости пересмотра первого издания книги. Однако при отборе нового материала и его представлении сразу же пришлось столкнуться с трудностями, обусловленными противоречивостью требований простоты и полноты изложения без значительного увеличения объема.

В результате большая часть книги была написана заново,  однако при этом основное содержание ее и направленность  сохранились.

Метод конечных элементов по существу сводится к  аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы. Затем между этими  элементами каким-либо способом устанавливается взаимосвязь. 

Подобные способы хорошо известны инженерам, занимающимся исследованием дискретных конструкций или электрических  цепей. Популярность метода, несомненно, объясняется простотой его физической интерпретации и математической формы. 

Использование ЭВМ позволяет получать решения многих сложных технических задач. Метод конечных элементов уже сейчас используется во многих конструкторских организациях в  качестве обычного инженерного метода. Первая глава книги почти не касается конечных элементов.

В ней кратко и в доступной форме излагаются основные  принципы матричного метода расчета конструкций, чтобы избежать необходимости обращения к другим источникам. Показано, что принципы исследований различных задач строительной  механики и, например, электротехники по существу одинаковы.

В гл. 2 описываются основы конечно-элементной формулировки задач теории упругости в перемещениях. Необходимость внимательного изучения этой главы обусловлена тем, что ряд последующих глав, в которых рассматриваются различные  задачи теории упругости, непосредственно основывается на  разработанной здесь теории. В гл. 3 возможные другие подходы на основе принципов виртуальной работы и минимума энергии распространяются на вариационные задачи и показывается  существенное сходство методов конечных элементов и Релея — Ритца. Наряду с этим в гл. 3 указывается на возможность и других, не вариационных формулировок.

В гл. 4—6 рассматриваются конечные элементы только простейших форм, а в гл. 7 и 8 исследуются в общем виде  функции формы элементов. В этих главах читатель познакомится с общими идеями более подробных расчетов.

В гл. 16 и 17 метод конечных элементов используется при исследовании динамических процессов, а в гл. 18 и 19  рассматриваются нелинейные задачи. В последние годы в этих  областях метод получил широкое распространение. Хотя в процессе изложения основное внимание уделяется лишь общим  положениям, вопросы пластичности, больших деформаций и связанные с ними задачи обсуждаются довольно подробно.

Для практического использования метода конечных элементов требуется не только овладение теорией, но и преодоление значительных трудностей программирования. К настоящему времени уже разработано много эффективных быстродействующих программ, однако их сложность может обескуражить начинающего исследователя, который, пожалуй, предпочтет получить простые решения частных задач. Ввиду этого в книгу помещена гл. 20, написанная моими коллегами докторами  Кингом и Чеигом, в которой содержится ряд стандартных  подпрограмм. Можно надеяться, что с их помощью читатель сумеет без. особого труда составить собственную программу.

Книга предназначена для аспирантов, студентов старших курсов и инженеров. Для изложения всего материала с единых позиций иногда приходилось пренебрегать математической стройностью (но не в ущерб строгости). Объем необходимых для понимания книги знаний лишь немного выходит за рамки обычных курсов математического анализа, хотя для удобства используются матричные представления. Для тех. кто не знаком с теорией матриц, необходимые сведения даются в  приложении.

Использование матричных представлений в методе  конечных элементов не обязательно, как это иногда ошибочно  предполагается. С таким же успехом, например, можно было бы использовать и тензорные обозначения.

В первое издание была включена глава, посвященная некоторым перспективным направлениям развития метода. 

Большинство этих направлений уже разработано и сейчас нет  смысла делать какие-либо дальнейшие предсказания, хотя, несомненно, метод будет развиваться. Следует отметить, что в книге не отражены хорошо разработанные вопросы  непосредственного применения вариационной теории Хелингера—Рейсснера и смешанного метода. Это сделано не только из-за  ограниченного объема книги, но и для сохранения единого подхода,  дающего эффективные средства решения многих задач.

Практические примеры, включенные в книгу, относятся к различным областям техники, хотя читатель, вероятно,  обнаружит, что их выбор в основном определяется личными  интересами автора, занимающегося вопросами строительной  механики. Распространение метода на другие отрасли техники не потребует большого труда.

О. Зенкевич

ГЛАВА I

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ: МЕТОД ЖЕСТКОСТЕЙ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ СЕТЕЙ

1.1. Введение

Инженерные конструкции можно рассматривать как  некоторую совокупность конструктивных элементов, соединенных в  конечном числе узловых точек. Если известны соотношении между силами и перемещениями для каждого отдельного элемента, то, используя хорошо известные приемы строительной механики [I—5], можно описать свойства и исследовать поведение  конструкции в целом.

В сплошной среде число точек связи бесконечно, и именно это составляет основную трудность получения численных решений в теории упругости. Понятие конечных элементов,  введенное впервые Тернером и др. [6], представляет собой попытку преодолеть эту трудность путем разбиения сплошного тела на отдельные элементы, взаимодействующие между собой только в узловых точках, в которых вводятся фиктивные силы,  эквивалентные поверхностным напряжениям, распределенным по  границам элементов. Если такая идеализация допустима, то задача сводится к обычной задаче строительной механики, которая  может быть решена численно.

На первый взгляд, этот интуитивно понятный и доступный инженерный метод выглядит не совсем убедительно—в частности, остается открытым вопрос о соотношениях между  силами и перемещениями отдельных элементов. Способы  получения этих соотношений будут подробно рассмотрены в гл. 2  после изложения основ метода. На данном же этапе целесообразно кратко описать общий метод расчета конструкций, который будет широко использоваться в книге после рассмотрения свойств конечных элементов.

В дальнейшем будет показано, что метод конечных  элементов применим и ко многим задачам иного типа, но и тогда основные свойства элемента выражаются в форме, принятой в строительной механике. Общие методы составления ансамбля и решения задач аналогичны приемам строительной механики.

В действительности «структурная» форма уравнений  присуща не только строительной механике. Уравнения в такой форме используются при расчетах электрических цепей или потоков жидкости в трубопроводах. Подобные задачи часто называются задачами исследования сетей

1.2. Элемент конструкции

На фиг. 1.1 изображена двумерная конструкция, состоящая из отдельных частей, соединенных между собой в точках,  пронумерованных от 1 до п. Соединения в узлах предполагаются шарнирными.

Сначала допустим, что в результате расчета или на основе экспериментальных данных достоверно известны характеристики каждого элемента. Силы, возникающие в узлах 1—3  элемента а, однозначно определяются перемещениями этих узлов, действующей на элемент распределенной нагрузкой р и его начальной деформацией. Начальная деформация может быть обусловлена температурным воздействием, усадкой или несовершенством сборки. Силы и соответствующие им  перемещения определяются компонентами U, V и и, v в какой-либо  системе координат.