Сурьянинов_Методы построения эпюр в статически определимых и статически неопределимых системах

Сурьянинов Н.Г.

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

Одесса – 2001

ВВЕДЕНИЕ

Эта книга в значительной степени соответствует курсу лекций, на протяжении многих лет читаемых в Одесском государственном политехническом университете для студентов механических специальностей.

Книга состоит из четырех глав, в которых достаточно подробно рассматриваются методы построения эпюр внутренних силовых факторов статически определимых и статически неопределимых стержневых системах.

В большинстве изданных учебников и учебных пособий этот важнейший вопрос излагается поверхностно, или вообще отсутствует. В главе 1 рассматривается построение эпюр в различных стержневых системах: балках, рамах, плоскопространственных и др.

В главе 2 приводятся различные общие методы определения перемещений, что имеет самостоятельное значение, а также является базой для двух последующих глав.

В главе 3 дается подробное изложение метода сил применительно к расчету статически неопределимых балок и рам. Рассмотрены все проверки метода, а также использование симметрии.

Глава 4 посвящена изложению метода перемещений. Приведенный здесь материал в лекционном курсе, как правило, не излагается в связи с ограниченностью во времени. Тем не менее метод перемещений очень важен, так как, во-первых, является мощным инструментом для расчета статически неопределимых систем, а во-вторых, используется студентами механических специальностей в дисциплинах, читаемых на старших курсах.

Книга снабжена большим количеством примеров.

ГЛАВА 1

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ

1.1 ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ

Рассмотрим тело произвольной формы в "спокойном", ненагруженном состоянии. Между его частицами всегда существуют силы взаимодействия, которые стремятся сохранить его как единое целое, то есть препятствуют изменению взаимного расположения частиц. При нагружении тела произвольной внешней нагрузкой силы взаимодействия между частицами изменяются, появляются дополнительные силы взаимодействия, которые приводят к изменению взаимного расположения частиц тела, то есть к его деформации.

Эти дополнительные силы взаимодействия называются внутренними силами упругости (ВСУ) и являются предметом изучения сопротивления материалов.

Анализ характера распределения внутренних сил упругости осуществляется при помощи метода сечений. Рассмотрим тело произвольной формы, нагруженное самоуравновешенной системой сил ( рис.1,а). В интересующем нас сечении мысленно рассечем его плоскостью на две части (рис.1,б) Внутренние силы упругости определяют взаимодействие между частицами тела, расположенными по разные стороны от мысленно проведенного сечения.

В разных сечениях тела возникают разные внутренние силы упругости, но по принципу действия и противодействия они всегда взаимны. Правая отсеченная часть тела действует на левую точно так же, как и левая на правую, а это означает, что равнодействующая внутренних сил может определяться из условий равновесия как левой отсеченной части тела, так и правой.

Из курса теоретической механики известно, что любую произвольную систему сил можно привести к центру тяжести сечения. В результате внутренние силы упругости, действующие в рассматриваемом сечении, приводятся к главному вектору R и главному моменту M . Выберем прямоугольную систему координат OXYZ так, что ось Z будет направлена по нормали к поперечному сечению, а оси X и Y лежат в плоскости сечения.

Проектируя главный вектор R на каждую из осей, а главный момент M на каждую из координатных плоскостей, получим шесть величин - 3 силы и 3 момента, - которые называются внутренними силовыми факторами (рис.2).

Полученные таким образом 6 внутренних силовых факторов (ВСФ) имеют строго определенные названия: N z - продольная (нормальная) сила;

Иногда обозначение M z заменяют на M кр или M к , более точно отвечающие физическому смыслу этой величины.

График, показывающий как меняется внутренний силовой фактор по длине рассматриваемого тела, называется эпюрой.

Правильность построения эпюры обеспечивается, в первую очередь, надлежащим выбором характерных сечений, то есть тех сечений, в которых величина внутреннего силового фактора обязательно должна быть определена.

К характерным сечениям относятся:

1) сечения, расположенные бесконечно близко по обе стороны от точек приложения сосредоточенных сил и моментов;

2) сечения, расположенные в начале и в конце каждого участка с распределенной нагрузкой;

3) сечения, расположенные бесконечно близко к опорам, а также на свободных концах.

1.2 ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЙ

В зависимости от характера внешней нагрузки и от особенностей нагружаемого тела, в поперечных сечениях могут возникать не все шесть внутренних силовых факторов, а какой-либо один или некоторая их комбинация. В соответствии с этим различают следующие виды сопротивлений.

Растяжение (или сжатие) - это вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях возникает только продольная сила N z .

Кручение - это вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях возникает только крутящий момент M кр . Чистый изгиб - это вид сопротивления, при котором во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент M x (или M y ). Чаще всего изгибающий момент M x сопровождается наличием поперечной силы Qy (или момент M y сопровождается наличием поперечной силы Qx ). В этом случае имеет место поперечный изгиб.

Возможны случаи, когда в поперечных сечениях возникают два и более внутренних силовых фактора одновременно (исключая их комбинации, рассмотренные выше), тогда говорят о сложном сопротивлении.

1.3 ВИДЫ ОПОРНЫХ ЗАКРЕПЛЕНИЙ

С технической точки зрения опорные закрепления конструкций весьма разнообразны. При формировании расчетной схемы все многообразие существующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижная опора (возможные обозначения для нее представлены на рис.3,а), шарнирно- неподвижная опора (рис.3,б) и жесткое защемление, или заделка (рис.3,в). В шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция, перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора лишает опорное сечение одной степени свободы, то есть препятствует смещению в направлении опорной плоскости, но допускает перемещение в перпендикулярном направлении и поворот опорного сечения.

В шарнирно-неподвижной опоре возникают вертикальная и горизонтальная реакции. Здесь невозможны перемещения по направлениям опорных стержней, но допускается поворот опорного сечения.

В жесткой заделке возникают вертикальная и горизонтальная реакции и опорный (реактивный) момент. При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться.

При расчете систем, содержащих жесткую заделку, возникающие опорные реакции можно не определять, выбирая при этом отсеченную часть так, чтобы заделка с неизвестными реакциями в нее не попадала. При расчете систем на шарнирных опорах реакции опор должны быть определены обязательно.

Уравнения статики, используемые для этого, зависят от вида системы (балка, рама и др.) и будут приведены в соответствующих разделах настоящего пособия.

1.4 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ N z

Продольная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня.

Правило знаков для N z : условимся считать продольную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части стержня, вызывает растяжение и отрицательной - в противном случае.

Пример 1. Построить эпюру продольных сил для жестко защемленной балки (рис.4).

Порядок расчета:

1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.

2. Определяем продольную силу N z в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка.