Тимошенко - Пластинки и оболочки
С. П. ТИМОШЕНКО и С. ВОЙНОВСКИЙ-КРИГЕР
ПЛАСТИНКИ и ОБОЛОЧКИ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО В. И. КОНТОВТА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ Г. С. ШАПИРО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Первое издание предлагаемой книги вышло в свет в США в
Несмотря на значительное число опубликованных монографий по теории пластинок и оболочек, данная книга не потеряла своего значения. Основное внимание в ней уделяется решению конкретных задач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Особое значение придается трактовке практических приемов исследований и механической интерпретации результатов. Во многих случаях (что очень важно для приложений), решения иллюстрируются графиками и таблицами. Большой исследовательский и педагогический талант, огромная эрудиция и опыт С. П. Тимошенко делают книгу весьма ценной как для учащихся, так и для инженеров и научных работников.
При редактировании в отдельных местах обновлена библиография.
Г. С. Шапиро
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
С момента выхода в свет первого издания этой книги применения теории пластинок и оболочек в практике значительно расширились, теория же пополнилась некоторыми новыми методами. С тем, чтобы оказать этим фактам должное внимание, мы постарались внести в книгу по возможности достаточное количество необходимых изменений и дополнений. Важнейшими дополнениями являются: 1) параграф о прогибах пластинки, вызванных поперечными деформациями сдвига; 2) параграф о концентрации напряжений вокруг круглого отверстия в изогнутой пластинке; 3) глава об изгибе пластинки, покоящейся на упругом основании; 4) глава об изгибе анизотропной пластинки и 5) глава, посвященная обзору специальных и приближенных методов, используемых при исследовании пластинок. Мы развили также главу о больших прогибах пластинки, добавив в нее несколько новых случаев для пластинок переменной толщины и ряд таблиц, облегчающих расчеты.
В части книги, излагающей теорию оболочек, мы ограничились добавлением метода функции напряжений в мембранную теорию оболочек и некоторыми незначительными добавлениями в теорию изгиба оболочек вращения.
Теория оболочек обнаружила за последние годы быстрое развитие, и в этой области появился ряд новых книг. Поскольку не представляется возможным останавливаться подробно на этих новых результатах, мы ссылаемся здесь лишь на новые литературные источники, в которых лица, специально интересующиеся этой областью, найдут необходимые сведения.
ВВЕДЕНИЕ
Толщина пластинки оказывает на ее свойства при изгибе значительно большее влияние, чем другие ее размеры. В этой книге мы различаем три типа пластинок: 1) тонкие пластинки, подвергающиеся малым прогибам; 2) тонкие пластинки, подвергающиеся большим прогибам; 3) толстые пластинки.
Тонкие пластинки с малыми прогибами. В тех случаях, когда прогибы w пластинки малы в сравнении с ее толщиной h, имеется возможность построить вполне удовлетворительную приближенную теорию изгиба пластинки под поперечными нагрузками, основываясь на следующих допущениях:
1. В срединной плоскости пластинка не испытывает никаких деформаций. При изгибе эта плоскость остается нейтральной.
2. Точки пластинки, лежащие до загружения на ьормали к срединной плоскости, остаются в процессе изгиба на нормали к ее срединной поверхности.
3. Нормальными напряжениями в направлении, поперечном к срединной плоскости пластинки, допустимо пренебрегать.
Основываясь на этих допущениях мы сможем все компоненты напряжений выразить через прогиб w пластинки, являющийся функцией двух координат в плоскости пластинки. Эта функция должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению в частных производных, которое, вместе с граничными условиями, полностью определяет w. Таким образом, решение этого уравнения дает все необходимые исходные данные, чтобы вычислить напряжения для любой точки пластинки.
Второе допущение эквивалентно пренебрежению влиянием перерезывающих сил на прогиб пластинок. Допущение это обычно удовлетворяется, но в некоторых случаях (например, при наличии в пластинке отверстий) перерезывающие силы приобретают большое значение, и тогда в теорию тонкой пластинки приходится вводить некоторые коррективы (см. § 39).
Если в дополнение к поперечным нагрузкам на пластинку действуют еще и внешние силы в ее срединной плоскости, то первое допущение не выполняется, и тогда возникает необходимость принять во внимание и то влияние, которое оказывают на изгиб пластинки напряжения, действующие в ее срединной плоскости. Это достигается введением некоторых добавочных членов в вышеупомянутое дифференциальное уравнение пластинки (см. § 90).
Тонкие пластинки с большими прогибами. Первое допущение выполняется полностью лишь в том случае, если пластинка изгибается по развертывающей поверхности. В иных условиях изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости, но вычисления показывают, что соответствующими напряжениями в срединной поверхности можно пренебречь, если прогибы пластинки малы в сравнении с ее толщиной. Если же прогибы не малы, при выводе дифференциального уравнения изгиба пластинки эти дополнительные напряжения надлежит учитывать. При этом мы приходим к нелинейным уравнениям, и решение задачи значительно осложняется (см. § 96).
При больших прогибах нам следует также различать случай неподвижных краев и случай, когда краям пластинки предоставлена возможность свободно перемещаться в ее плоскости — это заметно отражается на величине прогибов и напряжений пластинки (см. §§ 99, 100).
Благодаря кривизне деформированной срединной поверхности, дополнительные (имеющие преобладающее значение) растягивающие напряжения противодействуют приложенной поперечной нагрузке; таким образом, действующая нагрузка воспринимается при этом частично изгибной жесткостью, а частично мембранным действием пластинки.
В силу этого весьма тонкие пластинки, обладающие пренебрежимо малым сопротивлением изгибу, ведут себя как мембраны, за исключением, возможно, узких краевых зон, где изгиб может быть вызван наложенными на пластинку граничными условиями.
Случай пластинки, изогнутой в развертывающуюся, в частности, в цилиндрическую поверхность, следует рассматривать как исключение. Прогибы такой пластинки могут достигнуть величины того же порядка, что и толщина пластинки, не приводя непременно к возникновению мембранных напряжений и не нарушая линейного характера теории изгиба. Возникновение мембранных напряжений становится, однако, возможным в такой пластинке, если края ее закреплены неподвижно в плоскости пластинки, а прогибы достаточно велики (см. § 2). Поэтому в пластинках с малыми прогибами, мембранными силами, возникающими из-за неподвижности в плоскости пластинки ее краев, можно на практике пренебрегать.
Толстые пластинки. Перечисленные выше приближенные теории тонких пластинок непригодны для пластинок значительной толщины, в особенности, когда последние подвергаются действию резко сосредоточенных нагрузок. В таких случаях следует пользоваться теорией толстых пластинок, рассматривающей задачу о пластинках как трехмерную задачу теории упругости. Исследование напряжений поэтому приобретает более сложный характер и к настоящему времени приведено к полному решению лишь для немногих частных случаев. При решении такого рода задач средствами теории тонких пластинок в последнюю следует вводить надлежащие поправки для точек приложения сосредоточенных нагрузок.
Важнейшие предпосылки теории тонких пластинок составляют также и базис для обычной (элементарной) теории тонких оболочек. Следует, однако, обратить внимание на существенное различие в поведении пластинок и оболочек под воздействием внешней нагрузки. Статическое равновесие элемента пластинки под поперечной нагрузкой возможно лишь в результате действия изгибающих и крутящих моментов, обычно сопровождающегося действием перерезывающих сил, тогда как оболочка в общем случае способна передавать распределенную по поверхности нагрузку через «мембранные» напряжения, которые действуют параллельно касательной плоскости в заданной точке срединной поверхности и распределены равномерно по толщине оболочки. Это свойство оболочки сообщает ей, как правило, значительно большую жесткость и большую экономичность в сравнении с пластинкой в тех же условиях.
В принципе мембранные усилия не зависят от изгиба и полностью определены условиями статического равновесия. Методы определения этих усилий составляют содержание так называемой «мембранной теории оболочек». Однако реактивные силы и деформации, находимые по этой теории у границ оболочки, оказываются обычно несовместимыми с реальными граничными условиями. Для того чтобы устранить это несоответствие, следует учесть эффект изгиба оболочки в ее краевой зоне, способный оказать некоторое влияние на величину начально вычисленных мембранных усилий. Этот изгиб, однако, носит обычно лишь локальный характерх) и поддается анализу на основе тех же допущений, что принимаются в случае малых прогибов тонкой пластинки. Приходится, однако, встречаться с задачами, в особенности относящимися к упругой устойчивости оболочек, для которых гипотеза малых прогибов перестает быть допустимой и где следует опираться на теорию больших прогибов.
Если толщина оболочки сравнима с радиусами кривизны или если мы рассматриваем напряжения близ точек приложения сосредоточенных сил, следует исходить из более строгой теории, сходной с теорией толстой пластинки.
ГЛАВА I
ИЗГИБ ДЛИННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
1. Дифференциальное уравнение цилиндрического изгиба пластинки. К изложению теории изгиба пластинок мы приступим с решения простой задачи об изгибе длинной прямоугольной пластинки, несущей поперечную, не изменяющуюся по длине пластинки нагрузку.
Изогнутую поверхность участка такой пластинки, достаточно удаленного от ее концов'), можно при этом считать цилиндрической, с осью цилиндра, параллельной длине пластинки. Мы будем вправе в этих условиях ограничить исследование одной лишь элементарной полоски, вырезанной из пластинки двумя плоскостями, перпендикулярными к длине пластинки и отстоящими одна от другой на единицу длины (положим, на
Чтобы получить это уравнение прогиба выделенной нами полоски, выберем в качестве объекта нашего рассмотрения пластинку постоянной толщиной h, а в качестве координатной плоскости ху примем срединную плоскость пластинки, т. е. плоскость, лежащую до нагружения пластинки посредине между ее верхней и нижней поверхностями.
...