Скопинский - Сопротивление материалов. Часть 1

Скопинский В.Н., Захаров А.А. Сопротивление материалов: Учебное пособие. Часть I. - M.: МГИУ, 1999 - 128с.

Учебное пособие предназначено для студентов МГИУ дистанционного образования и заочной формы обучения инженерных специальностей, изучающих курс «Сопротивление материалов». Содержание учебного пособия соответствует Государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования РФ по инженерным специальностям и рабочей программе этой учебной дисциплины.

Учебное пособие является первой частью общего курса "Сопротивление материалов" и содержит необходимый теоретический материал; некоторые разделы пособия сопровождаются решением практических примеров.

Материал учебного пособия может использоваться студентами для самостоятельной работы по изучению курса и решения практических задач, для выполнения учебных заданий (курсовых работ), при подготовке к экзаменам.

© В.Н. Скопинский, А.А. Захаров, 1999

© ИДО, 1999

© МГИУ, 1999

Введение

Сопротивление материалов (новое название - механика материалов и конструкций) является одной из основных учебных дисциплин инженерно-технических вузов. Наряду с другими фундаментальными (естественно-научными) и техническими дисциплинами сопротивление материалов помогает формировать инженерное мышление, необходимое в разработке, производстве и обслуживании технических изделий различного назначения.

В сопротивлении материалов, являющимся одним из разделов механики твёрдого деформируемого тела, рассматриваются простейшие расчётные модели конструктивных элементов, изучаются общие методы расчёта инженерных конструкций. Такие методы являются в основном приближёнными, опираются на экспериментальные данные, что позволяет использовать простые и ясные подходы в оценке прочностных возможностей различных конструктивных элементов при внешних воздействиях.

При проектировании реальных конструкций необходимо решать вопросы прочности, жёсткости, устойчивости конструктивных элементов, определяющие способность конструкции выполнять свои рабочие функции. Для этих основополагающих понятий можно дать такие определения. Прочность - способность тела воспринимать внешние воздействия, не разрушаясь. Жёсткость - способность тела воспринимать внешние воздействия в области допустимых (ограниченных) деформаций (перемещений). Устойчивость - способность тела воспринимать внешние воздействия, сохраняя первоначальное положение равновесия. Более подробно расчёты конструкций на прочность, жёсткость и устойчивость рассматриваются в специальных инженерных дисциплинах (строительная механика конструкций, прочность конструкций, теория устойчивости упругих систем, теория упругости и пластичности, механика разрушения и др.).

В сопротивлении материалов рассматриваются деформируемые тела, т.е. способные изменять свои размеры и форму при внешних воздействиях. При этом широко используются методы теоретической механики (механики абсолютно твёрдого тела), расчётный аппарат математического анализа. Непрерывная связь различных наук, их постоянное развитие позволяют совершенствовать методы анализа в сопротивлении материалов, использовать возможности вычислительной техники, а также расширять круг общих вопросов, необходимых при подготовке современных специалистов инженерного профиля.

1. Основные понятия

1.1. Моделирование реального объекта

Реальные объекты (конструкции) обладают большим многообразием своих характеристик, учесть которые в полном объёме невозможно. Для анализа реального объекта используется соответствующее физическое и математическое представление (моделирование), чаще всего конструктивных элементов, т.е. создаётся расчётная модель (или расчётная схема).

Моделирование осуществляется за счет некоторой схематизации реальной конструкции, включающей три основных направления: материал, геометрическая форма, нагрузки и связи.

Моделирование материала

Инженерные модели используют гипотезу сплошности среды: материал считается непрерывной средой, заполняющей весь объем тела. При этом материал наделяется некоторыми осреднёнными, среднестатистическими свойствами, не зависящими от микроструктуры материала.

К наиболее распространённым свойствам материала относятся однородность, изотропность, упругость, пластичность. Однородность - независимость свойств материала от величины и местоположения выделенного из тела объема. Такая схематизация свойств материала основана на том, что размеры рассматриваемых тел (или их частей) значительно превосходят размеры структурных элементов (например, кристаллических зерен), где проявляются особенности строения материала. Изотропность - одинаковость свойств материала во всех направлениях. Упругость - способность тела восстанавливать первоначальные форму и размеры после снятия нагрузки. Пластичность - способность тела не восстанавливать (частично или полностью) первоначальные форму и размеры после снятия нагрузки.

При этом в теле появляются остаточные (пластические) деформации. Существуют и анизотропные материалы, в которых свойства материала неодинаковые по различным направлениям. Различают естественную анизотропию (например, дерево) и искусственную (например, фанера, ткани и. т. д.). Получение искусственно анизотропных материалов является очень перспективным направлением создания новых материалов, обладающих необходимыми свойствами. Одним из таких направлений является создание так называемых композиционных материалов (композитов), соединяющих в себе относительную легкость, высокую прочность и жёсткость как наиболее полезные качества для силовых элементов конструкций. Композиты состоят из наполнителя (армирующего материала) и связующего (матрицы). Наполнителем являются волокна из различных материалов (углеродные, стеклянные, борные, органические, металлические и др.). В качестве связующего чаще всего используются полимерные материалы (эпоксидные, полиэфирные, фенольные смолы), а также и металлические (алюминиевые, титановые, стальные) или керамические материалы. Подбирая определенные компоненты «волокно - связующее», по-разному ориентируя волокна, используя различную технологию изготовления композитов, можно получить материалы с требуемыми свойствами, максимально соответствующими проектируемым конструкциям.

Геометрическое моделирование тел В расчётном анализе используются три геометрические модели тела: брус (стержень), оболочка и пространственное (массивное) тело.

Брус - модель тела, длина которого существенно превышает поперечные размеры. Модели бруса различаются в зависимости от формы оси (рис. 1.1): а) прямолинейный, б) криволинейный, в) ломаный брус; в зависимости от изменения поперечного сечения бруса по длине (рис. 1.2): а) брус постоянного сечения, б) брус переменного сечения, в) ступенчатый брус. Естественно, отмеченные характерные признаки могут сочетаться, например криволинейный брус переменного сечения. Брус и конструкции, состоящие из элементов в виде бруса (стержневые системы), являются основными объектами изучения в сопротивлении материалов. Оболочка - модель тела, толщина которого намного меньше других размеров. Оболочки как тонкостенные конструкции различаются, главным образом, формой срединной поверхности (цилиндрическая, сферическая, коническая оболочки и т. д.), могут быть постоянной и переменной толщины. Оболочки широко применяются в различных областях техники, т.к. способны наиболее эффективно выполнять различные функции (прочностные, технологические, эксплуатационные, эстетические) в сочетании с малой материалоемкостью конструкций. Часто оболочки выполняются в совокупности с силовыми элементами в виде бруса (подкрепленные оболочки), оболочечные конструкции могут состоять и из нескольких оболочек различной формы. В частном случае, когда поверхность является плоскостью, оболочка вырождается в пластинку. Оболочки и оболочечные конструкции в основном изучаются в теории оболочек и специальных курсах строительной механики различных конструкций.

Модель пространственного тела имеет соизмеримые размеры. Методы расчета таких моделей рассматриваются в теории упругости. Брус, оболочка и пространственное тело рассматриваются также как одномерная, двухмерная и трёхмерная модели тела в соответствии с математическим описанием таких моделей.

Моделирование нагрузок и связей

Нагрузки являются мерой внешнего воздействия на рассматриваемый объект (тело) со стороны окружающих его тел или среды. Нагрузки моделируются системой внешних сил, которые разделяются на объемные и поверхностные силы. Объемные силы распределены по объему тела, приложены к каждой его частице (силы тяжести, инерции, магнитного взаимодействия). Поверхностные силы действуют на участках поверхности тела (силы воздействия среды, контактного взаимодействия тел и т.д.). При моделировании нагрузки вводятся понятия сосредоточенных силы и момента (пары сил), распределенной (погонной) нагрузки.

Под сосредоточенной силой Р (рис. 1.3,а) понимается равнодействующая поверхностных сил, действующих на относительно малой площадке поверхности тела (площадка условно стягивается в точку).

Аналогично, сосредоточенный момент М может рассматриваться как статический эквивалент поверхностных сил, некоторые варианты распределения которых показаны на рис. 1.3,б. Распределенная нагрузка q (рис. 1.3,в) получается приведением поверхностных сил к линии действия (площадка нагружения условно стягивается в линию).

Распределенная нагрузка может быть постоянной или переменной интенсивности.

В системе СИ единицами измерения силы являются ньютоны (Н) или килоньютоны (кН), т.е. применяется такая размерность для рассматриваемых типов нагрузки: Р /Н, кН/; М /Н⋅м, кН⋅м/; q /Н/м, кН/м/.

В расчетной модели используется понятие связи как ограничения перемещений в некоторых точках тела. Наиболее часто рассматриваются модели типовых опор как системы связей. В качестве примера на рис. 1.4 показаны плоские модели опор. Шарнирно-подвижная опора или каток (рис. 1.4,а) накладывает одну связь (на рисунке это соответствует запрещению вертикального перемещения). В частности, такая связь может быть упругой (рис. 1.4,б), допускающей определённые (конечные) перемещения. Шарнирно-неподвижная опора моделируется двумя связями (рис. 1.4,в), которые запрещают любые линейные перемещения в плоскости. Опора типа жёсткого закрепления или заделки (рис. 1.4,г) запрещает линейные и угловые перемещения. Возможны и другие варианты опор за счёт наложенных связей, например подвижная заделка - закрепление, ограничивающее поворот и линейное перемещение в направлении наложенных связей (рис. 1.4,д). При моделировании вариантов пространственного закрепления используется различное число связей, вплоть до шести. В месте наложения связей в соответствующих направлениях возникают реакции связей (силы и моменты), которые относятся к внешним силам. Например, в шарнирно-неподвижной опоре (см. рис. 1.4,в) возникают две силы; в заделке (см. рис. 1.4,г) - две силы и момент. Если реакции связей в системе могут быть определены с использованием уравнений статики (равновесия), то такая система называется статически определимой. Если же число реакций больше числа независимых уравнений статики, то такая система называется статически неопределимой.

По характеру изменения во времени нагрузки разделяются на статические и динамические. Считается, что статическая нагрузка постепенно возрастает от нуля до номинального значения и затем не изменяется с течением времени или мало изменяется. Динамические нагрузки характеризуются заметным изменением во времени, возникновением значительных ускорений частиц тела. Например: ударные, повторно-переменные, быстроизменяющиеся нагрузки. Таким образом, моделирование материала и формы тела, нагрузок и связей позволяет описать качественные особенности реального объекта.

1.2. Внутренние силы. Метод сечений

Для деформируемого тела существует понятие внутренних связей, соединяющих частицы тела в единое целое. При нагружении деформируемого тела в нём возникают внутренние силы взаимодействия частиц тела. Приём выявления внутренних сил путем мысленного рассечения тела на две части носит название метода сечений. Например, если плоскость П рассекает брус на две части (рис. 1.5,а), то в сечениях для левой и правой частей бруса возникают системы внутренних сил pл и pп, которые всегда взаимны по принципу действия и противодействия (рис. 1.5,б). (Рассечение тела на две части означает отбрасывание внутренних связей.) Если привести систему внутренних сил по правилам статики к центру площади сечения (т.0), то получим главный вектор R и главный момент M внутренних сил. Выберем систему координат 0xyz, где ось z направлена по нормали к сечению, а оси x и y расположены в его плоскости.