Ильин - Исследования по механике строительных конструкций и материалов

^т. 33&.3%Б39.*+Ва9,37в+в14.0114-»И|§?
Исслеяовяипи по м^J(allинt• i'i|Mmr#i|HW« kt^MlHMHii <<
материалои: MoKnyi. кмш rfi i|i//lIlCll Л, InW hh i
ISBN 5-230-09397-8
В сборнике содсржнпн |ямулы«1М 1К1||Л#амИйиМ1 i "»
ласти статики и димимпки iioikhiu'K и »йШШЧН, 1км|1ил
упругости и ползучести, мгдмнпкп рнчрущмио MetenHi'iM
сборника рассчитаны на ннучныл рнОшиннив и fi^HtttlHHHN
щиков
Редакционная кплАсеин
д-р техн. наук, профессор й. //. ИЛЬИН
(отв. редактор — ЛИСИ),
д-р техн. наук, профессор Е. А. БЕЙЛИН (ЛИСИ),
д-р техн..наук, профессор П. И. ВАСИЛЬЕВ (ЛПИ),
д-р техн наук, профессор А. П. ФИЛИН (ЛКИ),
канд. техн. наук, доцент В. Д. ХАРЛАБ (ЛИСИ)
(редактор, ответственный за выпуск)
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор В. 3. ВАСИЛЬЕВ (ЛИИЖТ),
д-р техн. наук, профессор Н. А. СЕРОВ (ЛТИ ЦБП)
ISBN 5-230-09397—8 © Ленинградский инженермо-стртгк'.'и ill
институт, 1990
СОДЕРЖАНИЕ
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
к. в. Соляник-Красса. Распределение напряжений у торца
цилиндра при кручении 5
В. Н. Кутрунов. Регуляризация сингулярных интегральных
уравнений плоской задачи теории упругости на основе спектра 9
В. Г. Блинова, А. М. Линьков. Расчет напряжений в тонком
слое на продолжении трещины 15
Е. И. Агуф. О возможном механизме дискования керна
горных пород 20
ТОНКОСТЕННЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Е. А. Бейлин, И. Г. Петрова. Определение частот свободных
изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней с
частично замкнутым контуром сечения 26
И. В.. Аникина. Об устойчивости плоской формы изгиба
тонкостенных стержней с распределенными депланациоиными связями 34
О. Г. Соболева. Касательные напряжения в тонкостенной
трубе с криволинейной осью при поперечном изгибе .... 39
В. П. Ильин, Н. Ю. Никифорова. Устойчивость изгибаемой
цилиндрической оболочки из вязкоупругого материала .... 43
СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ
И. А. Шарапан. О расчете складчатых сметем 47
А. А. Зевин. К расчету систем с нелинейно-упругими и упру-
гопластическимн связями 51
Ю. Б. Шулькин, А. О. Кунцевич. Равновесие упругой гибкой
нити при большой деформации 56
ЖЕЛЕЗОБЕТОН
Г. Д. Вишневецкий. Приближенная диаграмма «момент — кри-
внзина» для железобетон'иых элементов с нормальными трещинами 61
А. А. Котов. Об исходном напряженно-деформированном
состоянии преднапряженного железобетонного элемента .... 66
ЛИПЛМИКЛ I.AJIOK
И. I). Мг1Ц1'1»11;(111. ,1 (I llhtniuu'iiihtitt II II /^i))ii lijiH
блИЖСШИЛ' MO/U'.'lll Д.1Н llll|il' имении |ir;iKllml ГЫ II II lis i|p(|i |HHi-
кратковременной ciicpi'.'ioiii'iciiiiiii'i i-n.ii.i 69
||ЛГ|»у:жи
и. в. Лсдовскп!'!. о I'lici iH'iiiK'o с HoiqiMTiii'i n.niiid 75
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
В. д. Харлаб. О ciiiiry.'isi|UKiM критерии прочности .... 82
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО МЕХАНИКЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ И МАТЕРИАЛОВ
МЕЖВУЗОВСКИЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК ТРУДОВ/ЛИСИ. 1990
УДК 539.384/385
К. в. Соляник-Красса (ЛЭТИ)
Распределение напряжений у торца цилиндра при кручении
Эта небольшая заметка содержит результаты решения
задачи о напряженном состоянии у конца полубесконечного
цилиндрического вала, скручиваемого силами, распределен-
иы.М'И на торцовой поверхности г = 0 по произвольному
закону (р'исунок). Использована функция напряжешит Мичела
[1] Ф(г, 2) цилиндрических координат г и z, определяемая
как решение дифференциального уравнения
д^Ф 3 йф , дгф
(J/-2 г дг ' дг*
= 0. (1)
Отличные от нуля касательные напряжения Тг<р « т^г и
перемещения v представляются производными функции Ф:
Т/-(П — —
I дФ
гч дг *'
1
Олз
'^дФ
дг '
1
/-2
dv
(>г
дФ , д (
дг''Ог\
I дФ
~~ Gri дг
(2)
На цилиндрической поверхности г=а функция
напряжений Ф(г, z) связаиа с крутящим моментом Mi равенством
Ф(а,2)=Л1г/2л.
в случаях лапруженИя торцовых Поверхностей ,к решению
приводит следующая форма Ф (г, г):
Ф=АогЧг^й Hfte-M+SfteM][Cft/2(br)+Z)ft}'2{^ftr)], (3)
где h{kkr) .и Yzi^kf) — соответственно функции Бесселя и
Вебера второго порядка [2].
Всл1И вал оплошной, члены DkY^i'^kr) можно отбросить и
тогда
Ф^^Лог^+г^!: {Ak&-^k^+Bke4^)J2{%kr). (4)
Соответственно
1:фг==4Лог+ Ъ Hfce-M+BfteM)/,{br), (5)
оо
4V^+2 1^*6-''=^ - B,eV)y,(X,r)
1
a
ft>=i
Представим внешние аилы pi=p\(r) и р2=Р2(г},
-приложенные к торцам вала 2=21 и z=22 в форме разложений
в ряды по функциям Беоселя:
оо оо
Pi = Apor/a+Y.PikJ\(%kr), P2=4par/a+'?p2kJiikkr). (6)
¦ ¦ *==! *-1
Такое разложение аыполиимо, если Я^а — кор»и
уравнения AkaJi'(ka)+BJi'(Xa}==0, где А (и В—произвольно
выбираемые постоянные. В частности, при А = 0 Хкй — корни
функции Бесселя /i (Ла), а при В=»0 Хкй — корни
производной функции Бесселя Ji'(Xa).
Преследуя цель выполнения равенства нулю напряжений
Тгф на цилиндрической поверхности вала (г=а), положим
А=—В. Тогда на основании равенства xJ\'{x)=Ji.(x) —
—xJ2(x) получаем /2(^*0)= О, Следовательно, при свободной
от внешних сил цилиндрической поверхности в разложениях
(6) за Ккй должны быть взяты корни функции /2{Яа).
¦ 'После вылоЛневия обычной процедуры — умножения
каждого из разложений (3) на rJi {Хкг) и мнтегрйроваиия их
почленно в пределах от О до а приходим к З'Начениям
б
о о о о о о
to О) О) to со
оюсч со —ю
0)0 со О)*!- О)
0_Г~_00_00.0)_0)_
о'о о'о о о
О)
о".
о «!• СЧ "^ 00 «!•
0Q «]•«]• ю сч сч
— юо) i2S22
(м ~оо_о_о_
о о TJ* о о о
со *-• О) -^ со "«f
«СЧ-^О СОЧГ
О) to «!• О) (М со
00 со to -^ Ю О)
те to_i--.eo_eo^oo
ооо'о'о'о
00
о"
со coco со оео
о -^ш г-г-ю
—1 со сч «1* —" те
h^ — ^^ о СОО
ю со ~ —_ о_ о,
о" о" о' о" о о"
«l-CMO СЧ «!• —
-^сосо ^ h^ ^^
of^ ^ 1Л со 00
1Л счю Г-ОО О)
со h^ I--;, 1^ h^ 1^^
о" о" о" о' о" о"
«!• о «!• со СЧ со
О) со ф 1Л со о
СЧГ-0)Ю о со
—• 0)сч со орд
г-_сосч —<_0_0_
о" о о о" о' о"
СОСОт»"СО Юср
00 со о f^ юсо
О)О»СЧС0 О) —
1^ —соеч — о
О) 00 ^^ f^^^^^
о" о'о" о" о" о
со
о"
— со ^'^ '—¦ О)
— те со 00 сою
^ О) h^ С4 Ю со
О СО 00 «i-eoo
со_^сосч—^о_^о_
о"о о о о о
о СЧ ¦* 1СО -^
r-of~ ооо» сч
о<м to г-to «!•
<МО) tOO)lOO
~ со г-to to to_
—Г о" о" о" о" о"
о О) «1* "* «1* со
ю со 00 '«J^ О) —
О) 1^ О) 00 г-to
I^4coo<^^^-o
1Л со_(м_—н_о о_
о о" о" о" о" о"
Н
о о to о сч d
и О) f^ to ю со ю
^* — со О) Ю 1С со
со О)со ^ ооо
— 00 р^ co^inin
ч о о о о о
о'
СЧ -ч со -^ Ю О)
со—•00chг-00
«I- со сч О) О) а!
Ю to to 0)ЮО
^ сч~о_о_о_
о" о" о" о" о" о"
^ ^ (М h^ О) 1Л
0)f^ ^^ю 00 ^^
со со сч ^^ Q ^^
<м «i-r-. сооо
— 00 to icin ^
-Г о" о'о" о" о"
со со tOl/i ^ со
Ю —lOO t^ г-сч
00 h^ ^ ^ О) со
со Г-О еосо о
¦^ -^—^о^о^о
о" о" о" о" о" о
S00 'Ч1* -ч 1С 00
со 00 ю 0)1П
h^ со О) о Ю h^
о СЧ 1Л to О) о
0)^-1Л l-^CO С0_^
о о" о о" о' о'
о"
0)соо) сч — о
о о ю toin со
^ -ч о --^ О) •--
о 0)Ю со — о
—( о о^о^о_о^
о о о о о Сг
со to 1Я 00 1й сч
lл^- <м to соо
СЧ to О) со 1Й to
~ <м —iCM t-o
r-_^ lO^ ¦* CO_ СЧ о о o*o о о
о l^^^^ со со со
ООО) —•сооз:
о О) со 00 ю о
со —^ -ч о о о
о 0.0 о_о_о_
о'ооо'оо"
сооог-сч сосч
ООО) to to coco
<М ^ О) h^ — со
г-г-о to «!• ф
СОСЧ сч —— —
о'о'оо'оо"
ооо о о о
ооо о оо
о о"о"о"о"—'
s-s-s-s-s-
P;k = J.. . J rpj (Г) Л ihr) dr, У = 1; 2. (!)
Умножая равенства (4) на r^ и вычисляя интегралы левой
н правой части в (Прежних пределах, получаем значение
коэффициента Pq-.
а
Po = -ti\'"p{r)dr. ' (8)
о
в случае сплошного полубескОнечного вала (0-<2:<оо),
нагруженного на участке 0,25а<г<0,75а торцовой
поверхности 2=0 по линейному закону, т. е. при условии
.[О при 0Р('')= \р>'/^ при 0,25fl[о при 0,75flдля коэффициентов ро и р* {k=l, 2, 3, ...) получаем ро=
=^0,3125р, р*= -—5-?—[9/2(0.75Xftfl)—/2(0,25Я*а)].
__ . J
По условию конечности напряжений на боскрнечности
Вк = 0, Ло=ро/(4а), Ak=pk/kk.
В прилагаемой таблице приведены значения отношений
напряжений Тлф и Тфг к напряжению Ттах=А)==0,&125р, т. е.
к T,f2 при л=а 1И 2:=схэ.
Список литературы
1. Michel 1 J. Н. The Uniform Torsion and Elexure of Incomplete
Tores, with application to Helical Springsy/Proc. I.oiidon Math. Soc. 1900.
Vol. 31. P. 140.
2. С о л я II и к - Kp a с с a К. В. Кручение валов переменного сечения.
М.: Гос. ИЗД-1Ю т'ех.-теор. литер. 1949. 166 с.
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО МЕХАНИКЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ И МАТЕРИАЛОВ
/МЕЖВУЗОВСКИЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК ТРУДОВ/ЛИСИ. 1990
УДК 539.30+517.43
В. Н. Кутрунов (ТюмИСИ)
Регуляризация сингулярных интегральных уравнений
плоской задачи теории упругости на основе спектра
Показано, что спектр сингулярных интегральных операторов плоской
задачи теории упругости дискретен и имеет две точки непрерывного
спектра. На этой основе явно построены регуляризаторы интегральных
уравнений. Дана явная запись регуляризованных уравнений.
Интерральные уравнения плоского деформированного ^со-
стояаия в прямой постановке имеют вид
0,5и + Лм==М^, (1)
где и(j;)—вектор перемещения точек х границы Г упругой
области; f(jc) —вектор напряжения на той же границе; Л,
М — линейные 'интегральные операторы, причем
МР= \ F{x)-U{x,y)dTx.
г
Тензор ¦ (У (jt, у) известен: • ^¦
т^. У)- 4.?(1-^.)—p--T=ri^^v/j,
где X, у —радиус-векторы точек; г=х—у; ^=Ул- —
дифференциальный оператор Га1МИльтона; f=:—1п|/-|; / — едиН'Ич-
ная матрица; v — коэффициент Пуассона; i: — модуль Юига.
Интегральный оператор Л можно предстайить как сумму
сингулярного В и вполне непрерывного Т операторов:
^ Аи=Ви+Ти, (2)
где
Bu^^^u{x)-^^^dr,- (3)
dl\, (4)
a=(l-2v)/(4(l-v));
n — единичная внешияя нормаль к кривой Г в точке х.
В тексте использовала символика прямого тензорного 'Исч!ис-
ления [1] с тем отличием, что скаляры, векторы и тензоры
не выделяются специальным написанием, а различаются по
контексту. ^
Для гпостроения регулярнзатора уравнения (1)
потребуется полное исслеаование спектра оператора А.
Классификация точек спектра принята в соответствии с работой
И. М. Глазмаиа {2].
Определение 1. ДиснретнЫ'М спектром D (А) «екото-
рого оператора А называется .множество его собственных
значений, т. е. тамих чисел Я, для которых существует
нетривиальное решение уравнения Аи=ки.
Определение 2. Нетрерывным спектром С{Л)
оператора А называется множество зя.а1чений К, для которых
существует ограниченная некомпактная последовательность
{//.,}, удовлетворяющая условию Нт(Г—Я/)Ып=0.
Понадобится следующее обобщение теоремы Вейля [2]:
прибавление к замкнутому л1Инейному оператору В вполне
непрерывного оператора Т не нзмейяет непрерывной части
спектра, т. е.
С{В + Т) = С.{В).
Из этой теоремы следует, что для изучения непрерывного
спектра интегрального оператора теории упругости (2) до.
статочно изучить непрерывный ?опект,р оператора В.
Пусть т — единичный вектор, (касательный к кривой Г в
точке X 1И направленный в сторону положительного обхода
контура (см. рисунок).
Если с помощью векторного п1роизведвння ввести вектор
k = nXr, ортогональный плоскости деформирования (fe_Lu),
то действие оператора В (3) .можно представить в виде
Bu^~kX f и(д:)^1п|г|. (5)
г
Пусть точкам х, у .соответствуют точки t и to комплексной
плоскости, а через 9 обозначен угол между горизонталью и
10
вектором г (см. .piHcyiHoK). Тогда с вектором г можно связать
комплексное число t—to=\r\e^ и переписать соотяошеиие
(5) так:
Bu=aikXSu—aikXRu, (6)
где
Su^-irl-'rl'ldt-,.f^u^-Ljuit)db. (7)
Из-аа полной лепрерывности оператора R .второй оператор
в формуле (6) вполне непрерывен, поэтому в р&збпёЫт (2)
его можно отнести к оператору Т, а под Ви далее понимать
выражение Bu=aikxSu. Тамим образом, сингулярная 4iattb'
интелрального оператора А тецрии угаругоспи оказалась йй'^
раженной через хорошо изучеиныи 1интегр!ал типа Коши Su
(«anpiHMep, Ф. Д. Гахов [3]).
Теорема 1. В^и=а?и для ые1р(Г), р>1. '
Доказательство
B^u^^aikxS^aikXSu) =S^(aikX (aikXu)) = a^u.
Цепочка равенств обосновывается возможностью .занёсё-
Н)ия постоянного вектора aik под знак оператора 5, сфтого-
нальностью векторов aik и и, а также известным свошг^арм
интепрала типа Коши S^u=u для произвольных гельдеров-
скнх фувкций « [3].
Теорема 2. В пространствах Lp(T) для оператора В
резольвентным множеством является вся комплексная
плоскость Я за иоключевием точек Л,=±а.
Доказательство. Надо найти м)иожество X, ,для...