Пановко - Введение в теорию механических колебаний

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая читателю книга входит в серию учебных пособий, выходящих в издательстве «Наука» в  качестве дополнений к «Курсу теоретической механики» Н. В. Бутенина, Я. Л. Лунца и Д. Р. Маркина. Эти  дополнения рассчитаны на студентов, которые по профилю подготовки нуждаются в более подробном ознакомлении с рядом избранных проблем механики: теорией  устойчивости движения, теорией механических колебаний,  аналитической механикой, теорией гироскопов, теорией  механического удара и т. д.

Теория механических колебаний особенно ванна для инженеров, работающих в области машиностроения, приборостроения, авиа- и судостроения, промышленного и транспортного строительства, а также в некоторых  других областях техники. Каждая из названных областей ставит перед специалистами ряд ответственных  практических задач, тесно связанных с проблемой механических колебаний; хотя постановка этих задач почти всегда  обладает заметной спецификой, но все они, в конечном счете, решаются на основе общих принципов и методов, составляющих содержание теории колебаний.

Важность теории колебаний общепризнана, и в ряде ведущих втузов страны эта теория, или более или менее специализированные ее модификации, является самостоятельным элементом учебного плана, обязательной или факультативной дисциплиной; во многих других втузах систематически работают дополнительные семинары по теории колебаний, привлекающие не только студентов, но также аспирантов и молодых инженеров.

Настоящая книга предназначена служить учебным  пособием для любых таких занятий; можно надеяться, что она окажется полезной и для лиц, приступающих к  самостоятельному изучению теории механических колебаний.

Эта теория является частью механики, выделенной признаком общности рассматриваемых колебательных явлений. В основном тот же признак использован и при дальнейшем внутреннем разделении теории в этой книге, где каждая из четырех глав посвящена колебаниям  определенного типа (свободные колебания, вынужденные колебания, параметрические колебания, автоколебания).

В вычислительный аппарат теории механических  колебаний все больше проникают понятия, заимствованные из теории электрических цепей и теории автоматического управления (частотные методы, комплексные  представления сил и перемещений), а также матричные методы.

Эти понятия отражены и в настоящей книге, но без  особых подробностей — в конце концов, они имеют смысл только в области линейных колебаний.

В книге кратко описываются различные приближенные методы анализа нелинейных систем. Каждый из этих методов вводится в том месте изложения, где впервые он может оказаться полезным. Поэтому уже в первой главе можно найти элементарное изложение методов медленно меняющихся амплитуд, гармонического баланса и др., которые обычно излагаются (если вообще излагаются) лишь в самом конце курса.

По сравнению с другими книгами подобного назначения здесь относительно большое внимание уделено примерам, значительная часть которых — конечно, в сильно схематизированном виде — соответствует практическим ситуациям.

Автор благодарен всем коллегам, которые своими  советами и замечаниями помогли улучшению книги.

Ленинград

октябрь 1989 г. Я. Г. Паповко

ВВЕДЕНИЕ

1. Общие задачи и содержание теории. Сорок лет назад академик Н. Д. Папалекси писал: «Не будет, вероятно, преувеличенном сказать, что среди процессов, как свободно протекающих в природе, так и используемых в технике, колебания, нонимаомые в широком смысле этого слова, занимают во многих отношениях выдающееся,  часто первенствующее место».

Можно было бы привести множество примеров, иллюстрирующих важность колебательных явлений в  технических устройствах. В одних случаях колебания вредны (именно эти случаи впервые привлекли внимание инженеров к проблемам теории колебаний), в других случаях они приносят пользу и целенаправленно применяются в современной технике.

Механические колебания могут причинить  значительный вред. Часто они создают прямую угрозу прочности весьма ответственным конструкциям, таким, как валопроводы, турбинные лопатки, воздушные винты, мосты, перекрытия промышленных зданий и т. п.; колебания  неоднократно служили причиной многих аварий, а иногда и тяжелых катастроф. В других случаях колебания  способны нарушить нормальные условия эксплуатации,— таковы, например, вибрации станков, мешающие  достижению желательной чистоты обработки деталей, или  колебания приборов, установленных на вибрирующем основании (например, на автомобиле или на самолете), приводящие к нарушению точности показаний. Наконец, когда колебания оказывают вредное физиологическое действие на лиц, организм которых подвергается  длительным вибрациям (например, работающих с ручным пневмоинструментом вибрационного тина). Во всех  перечисленных случаям теория колебании решает задачи предвидения и, но возможности, предотвращения вредного действия колебаний. С другой стороны, ныне все шире применяются различные технологические процессы, основанные на  использовании искусственно возбуждаемых колебаний. К таким процессам относится, например, вибропогружение свай, при котором свая весьма быстро погружается в грунт под действием сравнительно небольшой вибрационной нагрузки; другим примером может служить  вибротранспортировка сыпучих материалов, частицы которых перемешаются в одну сторону вдоль колеблющегося лотка  («виброконвейера»). С помощью теории колебаний удается не только вскрыть довольно сложную природу соответствующих физических явлений, но и установить оптимальные параметры режима колебаний, при которых достигается наибольшая производительность технологического  процесса.

Таким образом, теория механических колебаний служит научной основой решения множества разнообразных технических задач большого практического значения.

Часто теорию колебаний разделяют на части по  признаку числа степеней свободы механической системы: сначала рассматривают колебания систем с одной  степенью свободы, затем колебания систем с несколькими степенями свободы и, наконец, колебания систем с  бесконечно большим числом степеней свободы (систем с  распределенными параметрами). Такое разделение имеет определенные методологические основания и долгое  время было традиционным.

Однако в последнее время наметился иной и, по-видимому, более целесообразный принцип, согласно которому отдельные разделы теории колебаний выделяются по признаку физического единства рассматриваемых  явлений. Следуя этому принципу, даже читатель, знакомый лишь с началами теории колебаний, легко выделит два достаточно самостоятельных раздела: исследование  свободных колебаний и исследование вынужденных  колебаний. В первом из этих разделов изучаются колебания  автономных систем, происходящие под действием  восстанавливающих (и, возможно, диссипативных) сил около  состояния равновесия; таковы, например, колебания после нарушения равновесия простейших систем, изображенных на рис. 0.1 {а — маятник, б — груз на пружине). Ко  второму разделу относится изучение колебательных  процессов, вызываемых и поддерживаемых вынуждающими  силами, т. е. силами, заданными в виде явных функций времени и не зависящими от движения системы. 

Примерами могут служить те же системы — маятник и груз на пружине, но при действии вынуждающих сил P{t) (t — время).

В некоторых случаях вынужденные колебания  возникают в результате кинематического возбуждения, т. с. заданного в виде явной функции времени  принудительного движения какой-либо точки (каких-либо точек)  механической системы. Такие случаи иллюстрированы рис. 0.1,5, е; в схеме и колебания маятника вызываются заданным колебательным движением оси подвеса в  горизонтальном направлении, а в схеме е колебания груза возникают вследствие заданного движения левого конца пружины.

При дальнейшем углублении в проблему  механических колебаний можно обнаружить существование  колебательных явлений иных типов, которые принципиально отличаются от только что названных.

Прежде всего отметим параметрические колебания, возникающие в системах, параметры которых (жесткость или масса) заданным образом периодически изменяются во времени. Примером параметрического возбуждается может служить маятник, ось подвеса которого совершает заданные колебания в вертикальном направлении (рис. 0.2,а). Если состояние относительного покоя будет каким-либо образом нарушено, то возникнут угловые колебания, причем в зависимости от сочетания  параметров системы указанные колебания могут быть как  ограниченными, так и неограниченно возрастающими во  времени. В последнем случае говорят о параметрическом  резонансе системы. И по физической сущности, и по математическому описанию эта задача принципиально отличается от задачи о вынужденных  колебаниях маятника при заданном горизонтальном движении оси подвеса (рис. 0.1,9).

Совершенно особое явление представляют автоколебания — незатухающие стационарные  колебания, поддерживаемые за счет энергии, которая подводится к  системе от источников  неколебательного характера. При этом силы, подводимые к системе от  источников энергии, меняются во  времени в зависимости от самого движения системы и при отсутствии движения равны нулю.

Простой пример автоколебательной системы показан на рис. 0.2, б —маятник, который при каждом  прохождении через положение равновесия испытывает действие мгновенного импульса S заданной величины и  направленного в сторону скорости. Такие импульсы могут  поддерживать незатухающие колебания маятника при наличии трения в системе. Здесь нужно подчеркнуть, что  действующие на автоколебательную систему внешние силы (в данном случае ударные) не являются вынуждающими силами в обычном смысле этого термина, так как они не заданы в виде явных функций времени, а  управляются самим движением.

К колебательным также относятся системы с  переменными параметрами, если эти параметры заданы  периодическими функциями координат (а не времени). 

Иногда такие системы называют автопараметрическими. Физические различия между природой колебаний  указанных четырех типов весьма глубоки; в достаточной мере специфичны и соответствующие математические  методы исследования. Каждому из этих типов колебаний ниже посвящена отдельная глава.

2. Составление механической модели; ограничение числа степеней свободы. Любая реальная механическая система представима в виде бесконечного числа материальных точек, массы которых бесконечно малы; так как связи между этими точками не являются абсолютно жесткими, то число степеней свободы такой системы  бесконечно велико. Точное решение задач о колебаниях деформируемых систем удается получить в замкнутой форме лишь в немногих, относительно простых случаях (например, задачи о свободных и вынужденных  колебаниях упругих стержней постоянного сечения при  равномерном распределении массы по длине стержня). В общем случае это сделать невозможно, и приходится  упрощать расчетную модель, в частности путем уменьшения числа степеней свободы. Можно указать три основных способа образования конечномерных моделей.

Первый способ состоит в том, что относительно менее массивные части системы полагаются вовсе  лишенными массы и представляются в виде безынерционных элементов (жестких или деформируемых), а наиболее жесткие части конструкции принимаются за абсолютно твердые тела; если размеры последних малы, то их  считают материальными точками.