Клованич - Метод конечных элементов в механике железобетона

С.Ф. Клованич И.Н. Мироненко

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В МЕХАНИКЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА

Одесса - 2007 г.

В монографии предложена методика расчета плосконапряженных железобетонных конструкций, позволяющая учитывать реальные свойства материала на базе теории течения бетона и метода конечных элементов. Представлена конечноэлементная модель железобетона, в основу которой положен неоднородный конечный элемент, где роль арматуры выполняют вставки в виде гибких стержней. Приведена проверка предлагаемой методики путем сопоставления результатов расчетов железобетонных конструкций с результатами расчетов по нормативным документам и известным опытным данным.

Для научных и инженерно-технических работников, аспирантов и студентов строительных и гидротехнических специальностей высших учебных заведений.

© С.Ф. Клованич,

И.Н. Мироненко

ПРЕДИСЛОВИЕ

Железобетон - физически нелинейный, комплексный, неоднородный материал, обладающий способностью к трещинообразованию. Однако, существующие нормативные документы, регламентируя учет особенностей деформирования железобетона, фактически приводят все расчетные зависимости лишь для линейных элементов (балки, колонны и т.д.) и только на отдельных, наиболее характерных стадиях работы. Между тем, к условно линейным элементам можно отнести лишь часть конструкций современных железобетонных зданий и сооружений. Другую часть составляют плоские и пространственные конструкции, работающие в условиях сложного напряженного состояния. Для них неприменима ни одна из общепринятых гипотез о характере распределения напряжений и деформаций по сечениям.

Расчет таких конструкций выполняется обычно методом конечных элементов с использованием шагово-итерационных процедур на базе общих принципов механики деформируемого твердого тела и численных методов решения физически нелинейных задач. Это позволяет отказаться от статических и кинематических «балочных» гипотез и проследить за характером напряженно-деформированного состояния конструкций на различных этапах нагружения, включая предельные. Однако, в этом случае, достоверность расчетных результатов будет определяться, в основном, используемыми физическими моделями материала и соответствующими им определяющими соотношениями.

В то же время, модели, основанные на классических теориях пластичности, не могут учесть всю специфику деформирования железобетона. С другой стороны, несмотря на то, что метод конечных элементов в настоящее время занимает ведущее место среди всех остальных численных методов, что подтверждается огромным количеством промышленных программных комплексов его реализующих, проблемы, связанные с физической стороной решаемых задач, таких как нелинейность процесса, режимы нагружения и т.д., как правило, остаются за кадром этих комплексов.

Немногочисленные попытки учесть реальные физико-механические процессы, протекающие при деформировании твердых тел, обычно наталкиваются на серьезные трудности, связанные с необходимостью втиснуть в рамки универсальных комплексов, предназначенных для решения большого класса самых разнообразных задач, те задачи, постановка и методы решения которых уникальны.

Данная работа посвящена, с одной стороны, построению модели железобетона при сложном напряженном состоянии, учитывающей его специфические особенности, с другой стороны, реализации этой модели в методе конечных элементов.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЧНОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОНА ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

1.1. Модели материалов

Бетон -- упруго-пластический материал, характеризующийся нелинейной зависимостью между напряжениями и деформациями и разной сопротивляемостью на сжатие и растяжение [2].

Однако систематические исследования его физической нелинейности были начаты лишь в работах А.Ф.Лолейта [78] и В.И.Мурашева [83] при разработке методики расчета железобетонных изгибаемых элементов по прочности и жесткости. Именно принцип А.Ф.Лолейта и теория В.И.Мурашева легли в основу экспериментально-теоретических исследований методов расчета

железобетонных изгибаемых элементов, и нашли отражение в целом ряде ныне действующих нормативных документов. Эти концепции развивались и совершенствовались до настоящего времени. Все работы этого направления невозможно перечислить в связи с их многочисленностью.

Обе эти теории базируются на гипотезах о характере распределения напряжений по высоте сечения лишь на отдельных характерных стадиях работы элемента, и не дают ответа на вопрос о действительном характере напряжений в процессе деформирования - от начальной стадии до предельного состояния. Более того, в расчет принимаются только нормальные напряжения, и только продольные деформации в направлении оси балки (стержня). Для точного ответа на вопрос о процессе деформирования железобетонных конструкций, необходимо привлечение общих методов механики деформирования твердого тела и теории пластичности.

Первые исследования пластичности материала при сложном напряженном состоянии связаны с работами А.А.Ильюшина [37] и Прандтля-Рейса [94, 168].

Однако, с самого начала было ясно, что для исследования пластичности бетона классические теории [37, 94, 168] неприменимы, так как бетон по разному сопротивляется растяжению-сжатию, обладает способностью к трещинообразованию, что обусловливает появление деформационной анизотропии. У бетона наблюдается также увеличение объема при трехосном сжатии, связанное с нарушением его структуры - так называемый эффект дилатации, что противоречит классической гипотезе об упругом изменении объема.

Одной из первых работ по исследованию пластичности бетона при сложном напряженном состоянии является работа Г.А.Гениева, В.Н.Киссюка, Г.А.Тюпина [25], в которой впервые сделана попытка учесть все перечисленные особенности материала. В ней бетон рассматривается нелинейно-упругим изотропным материалом, а железобетон транверсально изотропным, как на стадиях до, так и после образования трещин.

Теория Г.А.Гениева, В.Н.Киссюка, Г.А.Тюпина [25] нашла свое развитие в работах П.М.Бича [17], С.Ф.Клованича [54], А.И.Козачевского [61], В.М. Круглова [65], В.И.Корсуна [63], А.П.Кричевского [64], а так же [66, 72-74, 86, 87, 112, 114, 152, 179].

Второе направление развития теории малых упруго-пластических деформаций связано с работами Н.И.Карпенко [38-44], его учеников и соавторов. В ней бетон, как до, так и после появления трещин рассматривается как анизотропный материал. Анизотропия в этом случае связана с процессом деформирования и получила название деформационной анизотропии. Она обусловлена, как процессом трещинообразования, так и дискретным расположением арматуры.

Первые исследования в этом направлении отражены в работах А.А.Гвоздева и Н.И. Карпенко [24], где используется эта гипотеза о деформационной ортотропии материала. При этом направление осей ортотропии совпадает с направлением осей главных напряжений. В дальнейшем ортотропная модель разрабатывалась Н.И. Карпенко [38- 42], а также получила свое развитие в работах Т.А.Балана, С.Ф.Клованича [6], Г.Р.Бидного [13, 15], А.С.Городецкого [26], В.С.Здоренко [35] и других авторов [50-52, 60, 61, 63, 69, 71, 80, 118, 120, 127, 168, 176].

Однако, теория малых упруго-пластических деформаций бетона, как изотропная, так и ортотропная является по своей физической природе деформационной теорией и оперирует с конечными величинами напряжений и деформаций. Эта теория дает надежные результаты только при простом пропорциональном нагружении. Ее использование, как отмечается в классических работах по теории пластичности [37, 94, 168], становится проблематичным при сложном режиме нагружения.

Учет эффекта разгрузки, повторного нагружения может быть осуществлен только на базе теории течений, когда изучается приращение деформаций и напряжений. При этом приращения деформации представляются двумя составляющими, одна из которых является обратимой (упругой), вторая необратимой (пластической). Пластическая часть приращений напряжений и деформаций согласно теории течения, ассоциируется с некоторой поверхностью, называемой поверхностью нагружения или пластического потенциала. Пластическое течение развивается по нормали к этой поверхности (ассоциированные теории) или с отклонением от нормали (неассоциированные теории). Как правило, эти поверхности строятся на базе предельных поверхностей материала путем их трансформации (деформационное упрочнение) либо смещения (трансляционное упрочнение). Различные варианты теории течения отличаются способом построения этих поверхностей.

В отличие от деформационных теорий, теории течения для бетонных материалов на сегодняшний день развиты значительно меньше. Первые исследования по теориям течения для бетона появились относительно недавно и связаны с работами В.С.Ленского [75], З.Бажанта [3], В.М.Круглова [65], В.И.Кудашова [67], П.М.Нахди [85], J.W.Rudnicki, J.R.Rice [169]. Однако, в последнее время наблюдается возросший интерес к теории течения для бетона, отраженной в работах А.В.Гришина [29], С.Ф.Клованича [55-57], В.П.Максименко [80], E.Hansen [144], H.Hartl [145], а также [154, 155, 166]. Современные варианты деформационной теории и теории течения существенным образом опираются на предельные поверхности материала, характеризующие прочность бетона при сложном напряженном состоянии. В деформационной теории с помощью этих поверхностей определяются параметры нелинейности. А в теориях течения с помощью этих поверхностей строятся поверхности нагружения, пластического потенциала и т.д.

Начало современного представления о природе прочности бетона при трехосном напряженном состоянии и способах ее описания положено в работе М.М.Филоненко-Бородича [104]. В дальнейшем исследования прочности бетона при трехосном напряженном состоянии были осуществлены в работах И.Н.Ахвердова [2], А.В.Яшина [112-114], Т.А.Балана, С.Ф.Клованича [6], П.М.Бича [16], Г.А.Гениева, В.Н.Киссюка, Г.А.Тюпина [25], Н.И.Карпенко [38], Е.С.Лейтеса [72, 74], Г.С.Писаренко, А.А.Лебедева [89], J.H.Argiris, G.Faust, J.Szimmat, P.Warnke, K.Willam [117], D.Darwin, D.A.Pecknold [129], S.Dei Poli [130], а также [53, 62, 65, 137, 139, 147-149, 167, 179].

1.2. Численные исследования

На этапе становления теории пластичности бетона и железобетона возможности реализации теоретических предложений применительно к расчету конструкций при сложном напряженном состоянии были весьма ограничены. Это было вызвано тем, что сложность исходных моделей материала приводила к необходимости решения громоздких систем дифференциальных уравнений. В замкнутом виде эти уравнения, как правило, решения не имели, а применение численных методов затруднялось отсутствием мощной вычислительной техники. Поэтому, несмотря на имеющиеся теоретические разработки, основная масса пространственных железобетонных конструкций рассчитывалась методами линейной теории упругости с использованием приближенных аналитических решений.

Крупным шагом в развитии методов расчета железобетонных конструкций с учетом реальных свойств материала явился метод В.И.Мурашева [83], который, однако, как уже отмечалось, может быть использован лишь для изгибаемых балочных элементов. К тому же напряженно-деформированное состояние конструкций с помощью этого метода определяется лишь на отдельных характерных стадиях их работы, в то время как работа на промежуточных стадиях остается неизученной.

Появление современных высокопроизводительных ЭВМ с большой памятью сделало возможным решение задач с достаточно сложными расчетными моделями численными методами. В этой ситуации главным становится вопрос о выборе эффективного численного метода. Выбор метода решения -- сложная и противоречивая проблема, не имеющая однозначного решения. Многообразие задач, субъективные оценки возможностей методов и степень владения ими, техническая оснащенность, математическая культура - вот далеко не полный перечень факторов влияющих на выбор метода решения одной и той же задачи [14]. Сначала в качестве основного при расчете железобетонных конструкций с учетом реальных свойств материала многими исследователями [43, 110] использовался метод конечных разностей, достоинства и недостатки которого хорошо известны. Но в дальнейшем основной упор в преобладающем большинстве исследований был сделан на метод конечных элементов (МКЭ), который к настоящему времени занял ведущее место, вытеснив постепенно все остальные численные методы.

Преимущества МКЭ как численного метода очевидны. Это, прежде всего, возможность сведения задачи к системе линейных или нелинейных алгебраических уравнений непосредственно, без предварительной формулировки их дифференциальных аналогов. Кроме того метод конечных элементов привлек к себе внимание исследователей главным образом тем свойством, что сплошная среда разбивается на ряд элементов, которые можно рассматривать как конкретные ее части. Части конструкции можно выбрать таким образом, чтобы условия их работы отвечали условиям работы образцов в виде бетонных и железобетонных кубов, призм, цилиндров при стандартных испытаниях. И, наконец, основные процедуры МКЭ стандартны и не зависят от размерности и типа используемых конечных элементов, что позволяет осуществить унификацию этих процедур и создавать программные комплексы по расчету конструкций широкого класса и назначения.

Метод конечных элементов в сочетании с мощными ЭВМ допускает использование моделей материалов практически любой степени сложности. Благодаря МКЭ появилась реальная возможность перейти к расчету не только бетонных, но и железобетонных конструкций при сложном напряженном состоянии. Железобетон, как известно, является комплексным материалом, состоящим из бетона и стальной арматуры, работающих совместно, но обладающих различными механическими свойствами. МКЭ применительно к расчету железобетонных конструкций выступает не только как численный метод анализа, но и служит инструментом моделирования, когда модель материала отражает специфику самого метода конечных элементов.

Особенность железобетона как комплексного материала состоит в его способности работать в условиях образования и развития микротрещин. Трещинообразование выступает как процесс, места образования микротрещин и направления их развития определяются расчетом, хотя и приближенно с точностью до размеров элемента.

Впервые МКЭ для расчета плосконапряженных конструкций использовался в работе D.Ngo и А.С.Scordelis [157]. Бетон моделировался треугольными конечными элементами из линейно упругого изотропного материала. Арматура представлялась стержневыми конечными элементами. В общих узлах стержневые и плоские элементы деформировались совместно. Основные положения работы [157] развил А.Н.Nilsen [158], который использовал дополнительные связующие конечные элементы между бетоном и арматурными стержнями, имитирующие силы сцепления. В работе L.A.Lutz [154] бетон и арматура при расчете плосконапряженных железобетонных конструкций представлялись плоскими треугольными конечными элементами, работающими совместно. Аналогичные предпосылки использовались в работе [121], однако между бетонными и стальными элементами устанавливались специальные связующие элементы в виде пружин конечной жесткости. Отметим, что указанные подходы не нашли достаточно широкого распространения прежде всего из-за трудности установления жесткости связующих элементов. Кроме того, их реализация сталкивается с затруднениями при моделировании процесса трещинообразования, имеющим принципиальное значение. И, наконец, расчетная схема конструкции представляется набором конечных элементов различных типов и размерностей, что иногда ведет к нарушению сплошности вдоль границ их стыковки.

Поэтому, в преобладающем большинстве дальнейших исследований применялись однотипные конечные элементы, но состоящие из комплексного, нелинейного, анизотропного материала - железобетона. При этом основные зависимости для элементов получались на основе механики композиционных материалов, а вопрос о совместной работе бетона и арматуры на стадиях до и после образования трещин решался не при рассмотрении взаимодействия бетонных и стальных элементов, а при формировании матриц упругости или жесткости железобетонных элементов. Определение характеристик таких элементов осуществляется обычно одним из следующих двух способов.

Первый способ используется в работах Л.А.Козака [60], F.R.Hand, D.A.Pecknold, W.C.Shnobrich [143], F.B.Lin, Z.P.Bazant, J.C.Chern, A.H.Marchertas [151], О.C.Zienkiewicz, D.R.H.Oweh, D.V.Phillps, G.C.Nayak [180], N.S.Ottosen [161], R.J.Allwood, A.A.Bajarwan [115], A.A.Elwi, T.M.Hrudey [133] и заключается в разработке специальных изопараметрических конечных элементов, состоящих из бетона, пересекаемых арматурой в виде одиночных стержней или мембран, работающих на растяжение-сжатие в одном или двух направлениях. Жесткость таких элементов определяется как сумма жесткостей бетона и арматуры. Второй способ состоит в том, что арматура при помощи коэффициентов армирования равномерно распределяется по объему конечного элемента и железобетон представляется композиционным материалом, состоящим из двух сплошных сред - бетона и "размазанной" арматуры. Способ распределения арматуры по объему был предложен в статье А.А.Гвоздева и Н.И.Карпенко [24] при выводе определяющих соотношений для плоского железобетонного элемента и в дальнейшем использовался в работах Г.А.Гениева, В.Н.Киссюка, Г.А.Тюпина [25], А.С.Городецкого и В.С.Здоренко [26] , Н.И.Карпенко [39] , Г.Р.Бидного [13], М.Suidan, W.C.Schnobrich [175], V.Cervenka [127, 128], D.Darwin, D.A.Pecknold [129] и др. В настоящее время этот способ получил значительное распространение и используется в большинстве численных исследований железобетонных конструкций. При этом совокупность стержней одного направления заменяется физически нелинейной сплошной средой, работающей, как правило, на растяжение-сжатие вдоль этого направления и на сдвиг - перпендикулярно ему. Первый способ, на наш взгляд, незаслуженно забыт.

При расчете по МКЭ считается, что трещины образуются по площадкам главных растягивающих напряжений, когда величины этих напряжений превышают предельные для бетона значения. Конечноэлементному моделированию работы железобетона с трещинами по площадкам главных напряжений при сложном напряженном состоянии уделялось много внимания, что подтверждается многочисленными и оживленными дискуссиями по данному вопросу. В результате этих дискуссий к настоящему времени определились два теоретических направления. Основы первого из них заложены в работе Г.А.Гениева, В.Н.Киссюка и Г.А.Тюпина [25] и развиты в работе [13]. С образованием трещин в направлении, перпендикулярном трещинам, бетон постепенно выключается из работы, что моделируется введением среднего фиктивного модуля деформаций растянутого между трещинами бетона. Значение этого модуля получалось либо из условия равенства усилий в трещине и средних на участке между трещинами с использованием известного коэффициента В.И.Мурашева, либо при помощи ниспадающей ветви на диаграмме работы материала при растяжении, приближенно отражающей экспериментальные данные [35, 152, 163]. Введение фиктивного модуля бетона в направлении нормали к трещине особенно удобно при использовании ортотропных моделей бетона. В этом случае направление трещин совпадает с осями, ортотропии и физические зависимости для бетона с трещинами имеют точно такой же вид, как и для бетона без трещин [13, 15, 26].

Отметим, что физические зависимости для арматурной среды не зависят от стадии работы элемента, а условие совместности двух сред формально распространяется и на элемент с трещинами. Наиболее значительные успехи в моделировании работы железобетона с трещинами на основе МКЭ связаны со вторым направлением, автором которого является Н.И.Карпенко [39, 40]. Предложенная им теория является известным обобщением традиционной теории В.И.Мурашева для случая сложного напряженного состояния. В отличие от [25] железобетон с трещинами моделируется физически нелинейным анизотропным материалом, представляющим собой распределенную по объему арматуру, ожесточенную за счет остаточных связей ее с бетоном на участке между трещинами. Достоинством подхода является возможность учета сложного, неортогонального армирования, а также таких явлений, как нагельный эффект в арматуре, сил зацепления в трещине, ослабление бетонных сечений каналами арматуры, сдвиг берегов трещин и т.д. Теория. Н.И.Карпенко получила развитие в работах [39- 44]. Эта теория прошла широкую апробацию в отечественных программных комплексах, реализующих МКЭ для расчета плоскостных конструкций [27].Отметим, что существующие модели деформирования железобетона с трещинами носят деформационный характер и справедливы лишь при простом пропорциональном нагружении. Вопросы разгрузки, закрытия трещин и их повторного открытия в этих моделях не рассматриваются и требуют дополнительных исследований.